Определение динамических характеристик двухъемкостного объекта по кривым разгона. Определение ПФ объекта по кривой разгона

Цель работы: определить динамические характеристики двухъемкостного объекта по кривым разгона.

Определение ПФ объекта по кривой разгона

В задании к данной лабораторной работе дан график кривой разгона двухемкостного объекта и таблица значении этой кривой разгона, необходимо определить путем аналитических и графических вычислении определить параметры процесса и построить по ним график кривой разгона, таким образом чтобы он минимально отличался от исходного.

Рисунок 1 – Исходный график кривой разгона и входного параметра

Двухъемкостной объект описывается линейным дифференциальным уравнением второго порядка, характеристическое уравнение которого имеет два действительных отрицательных корня (в частном случае корни могут быть кратными).

Дифференциальное уравнение двухъемкостного объекта представляют в виде

  ,

где T₁ и T₂ - постоянные времени первой и второй емкости (звена);

k - коэффициент усиления объекта.

Решение такого дифференциального уравнения при скачкообразном входном возмущении величиной :

Существует несколько способов аппроксимации кривой разгона, описываемой уравнением. С точки зрения алгоритмизации метода обработки экспериментальных данных представляется целесообразным применить метод, предложенный Ольденбургом и Сарториусом.

Проанализировав уравнение можно показать, что при изменении отнощения постоянных времени T₂/T₁ от нуля до единицы (а это отношение для двухъемкостного звена может меняться только в этих пределах) отношение b/a (рисунок 1) меняется от единицы до 0,7357.

Зависимость b/a от T₂/T₁ выражается формулой

На основании формулы построен график зависимости отношений T₂/T₁  и b/a (рисунок 2).

                      Рисунок 2 - Обработка кривой разгона                              Рисунок 3- Номограмма для определения

                        апериодического объекта второго                                                 T₂/T₁  по b/a

                                             порядка

 Из формулы следует, что при отношениях b/a, полученных с реальной кривой разгона, больших 0,83, объект может быть представлен как одноемкостный (с запаздыванием), поскольку отношение T₂/T₁ в этом случае меньше 0,15, т. е. T₂, составляет меньше 15% от T₁. Кроме того, при отношениях b/a, меньших 0,7357, объект не является двухъемкостным, а описывается дифференциальным уравнением более высокого порядка. Отсюда, в частности, можно получить
критерий для машинного, определения порядка дифференциального уравнения, описывающего объект:

b/a >0,83—одноемкостный объект;

0,7357 b/a 0,83 — двухъемкостный объект;

   b/a <0,7357— трехъемкостный объект или объект более высокого .порядка.

      Прежде всего, необходимо отыскать точку перегиба на кривой разгона. Тангенс угла наклона касательной можно определить

Имея в виду, что шаг замеров постоянный , определим точку перегиба как точку, в которой . На реальных кривых точка перегиба обычно не выражена достаточно четко. Поэтому несколько значений  в средней части кривой могут иметь равные или близкие значения. Выберем точки, в которых приращения функции отличаются не более чем на 1 %, т. е.

В средней части кривой неравенству будут удовлетворять несколько точек, которые определяем из таблицы значении представленной в программе:

Проведем через них прямую у = mt + с, которая будет являться касательной к кривой разгона в точке перегиба. Коэффициенты найдем по методу наименьших квадратов.
     Для этого потребуется, чтобы:

Взяв частные производные суммы по m и с и приравняв их нулю, получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными, решив которую, получим

где l =32;

 j =30;

y_i – значения точек перегиба.

Подставляем численные данные в формулы:

Определим координаты точек пересечения касательной с осью абсцисс и асимптотой из уравнений

где — отрезок, отсекаемый на оси ординат асимптотой, значение, которого определяем по исходному графику.  

Абсциссу точки перегиба интерполяцией по формуле:

Вычислив значения t₁, t₂ и t_{3 ,} получим

Аппроксимировав кривую на рисунке 3, получим зависимость Т₂/Т₂  от b/a:

Имея в виду, что

Можем составить систему из двух уравнений относительно неизвестных Т₁ и Т₂ решив которую , получим

После определения постоянных времени, определяем недостающие параметры двухемкостного объекта определяем из кривой разгона, которая представлена в программе:

 - численное значение установившегося значения выходной величины;

 - величина скачка входного параметра;

 - коэффициент усиления;

- время запаздывания определяемый по исходному графику.

Зная параметры двухемкостного объекта можно определить передаточную характеристику данного объекта, передаточная функция будет иметь следующий вид:

Подставляя полученные данные в программу получаем график переходного процесса двухемкостного объекта.

Рисунок 4 – Полученная кривая разгона