Построение математической модели задач линейного программирования. Вариант № 9, страница 3

где Z* - оптимальное значение, полученное из итоговой таблицы, а ΔZ – изменение целевой функции, найденное по формуле (***). Знак определяется направлением изменения: “+” - при увеличении запасов (Δb₁ или Δb₂) и “-“ - в противном случае.

      Интервалы устойчивости можно найти чисто геометрически, пользуясь графическим решением задачи. Для того чтобы понять, что будет происходить на этом рисунке при изменении запасов ресурсов и как это повлияет на положение точки оптимума D, необходимо представить уравнение линии уровня в следующей форме:

Z₀ = y₁b₁ + y₂b₂  y₁ = ,                               (1)

где отношение  показывает тангенс угла наклона прямой,

 соответствующей (1) к оси OY₁. Рассмотрим теперь следующие случаи:

1)  пусть b₂ = const, b₁ - ↑ (увеличивается), тогда тангенс уменьшается и угол наклона к оси OY₁ также становится меньше;

2)  пусть b₂ = const, b₁ - ↓ (уменьшается), тогда тангенс и угол, ему соответствующий, увеличиваются.

     Линия уровня, проходящая через точку D, «привязана» к ее координатам (,) так, что при изменении b₁ она будет поворачиваться вокруг точки D как оси, причем при b₁ - ↑ по часовой стрелке, а при b₁ - ↓ - соответственно против. Все это схематично показано на рис.2. Здесь цифрами указаны номера ограничений в двойственной задаче, которые формируют соответствующую сторону многоугольника ОДР.

     Таким образом, значение b₁, при котором линия уровня совпадает с прямой 3 будет b_1max , так как дальнейший рост b₁ вызовет такой наклон линии уровня к оси OY₁, что оптимальной станет уже точка C и координаты  (,) изменятся.

       Из аналитической геометрии известно, что, если две прямые параллельны (или совпадают), коэффициенты при соответствующих переменных в обоих уравнениях пропорциональны. Тогда при совпадении линии уровня

b_1max y₁ + 120y₂ = Z_max

и прямой 3:

                                            50y₁ + 1,8y_{2  =} 90,

        имеет пропорцию:

                                                                ,

откуда b_1max = 3333,33, что полностью совпадает с решением, полученным нами ранее. Рассуждая точно так же в случае, когда b₁ уменьшается, найдем, что условием совпадения линии уровня и прямой 4 является выполнение соотношения:

                                                       .

Тогда b_1min = 2000, что также соответствует алгебраическому решению.

     Пусть теперь изменяется b₂, а b₁=const. Очевидно, что эти изменения могут быть точно так же проиллюстрированы геометрически, как и для b₁. Только в этом случае будет меняться наклон линии уровня к оси OY₂. Тогда, при увеличении b₂, линия уровня будет поворачиваться вокруг точки D против часовой стрелки, пока не совпадет с прямой 4, а это произойдет лишь при условии:

откуда b_2max = 180. Аналогично, уменьшение b₂ приведет к совпадению с прямой 3 при условии:

и b_2min = 108. Эти результаты полностью совпадают с решением, найденным с помощью средств ПЭР.

     Рассмотрим теперь вопрос о влиянии коэффициентов целевой функции на ее величину (как изменение цен на готовую продукцию влияет на доходы предприятия). Графическое решение этой задачи поможет сделать это особенно наглядно.

     В модели двойственной задачи цены на товары с_j находятся в правых частях ограничений двойственной задачи. Уравнение в общем виде:

                                 ,                                              (2)

Уравнение (2) определяет соответствующую сторону многоугольника ОДР на рис. 1, 2.

Таким образом, изменения величины правой части в (2) приведут к сдвигу соответствующей стороны параллельно самой себе либо вправо-вверх, если с_j растет, либо влево-вниз, если с_j уменьшается. На рис.3 это схематично показано.

Катя, как ты поняла, рисунки я чертила от руки ( в сиреневой методичке все есть!)

      При увеличении с₁, отрезок АВ, который определяется первым ограничением двойственной задачи, будет двигаться вправо (рис.3,а). При этом в т.В будет сближаться с т.С, пока не сольется с ней и т.д., пока «новая граница» ОДР не подойдет к т.Dё До этого момента рост цены 1-го товара никак не сказывался на оптимальном плане закупок (и, соответственно, на величине Z_max ) т.к. это не влияло на координаты т.D. Дальнейший же рост этой цены приведет к тому, что т. D начнет двигаться по отрезку DЕ, пока не сольется с т.Е. Величина целевой функции в т. Е будет больше, чем в т. D, т.к. линия максимального уровня сместится при этом вправо, т.е. в сторону увеличения. Но дальше, на сколько бы мы ни поднимали цену, это не даст дополнительной прибыли, т.к. мы имеем ограниченные ресурсы.

     Экономически эта ситуация объясняется тем, что в «исходном положении» продажа 1-го товара по цене с₁ нерентабельна. И только тогда, когда эта цена вырастет настолько, что начнет покрывать все расходы, связанные с его закупкой (в т. D), 1-й товар начнет приносить прибыль.

     Таким образом, ясно, что тт. D и Е являются «поворотными моментами» в деятельности данной коммерческой фирмы при увеличении с_1.  «Критическую» цену в т. D можно найти, подставив координаты в т. D (0,9;25) в уравнение:

с_1кр = 120y_1D + 0,4y_2D = 120*0,9+0.4*25=118.

      Цену 1-го товара в т. Е можно также найти через координаты т. Е, которая находится на пересечении ограничения (4) двойственной задачи и оси 0Y_1. Решим систему 2-х уравнений: