Методические указания к лабораторным работам "Резонанс напряжений в колебательном контуре" и "Резонанс токов в колебательном контуре"

МИНИСТЕРСТВО ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра физики-2

Методические указания

к лабораторным работам

по дисциплине

«ФИЗИКА»

РАБОТЫ   76 , 77

МОСКВА–2002

МИНИСТЕРСТВО ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра физики-2

У т в е р ж д е н о

редакционно-издательским

советом университета

Методические указания

к лабораторным работам

по дисциплине

«ФИЗИКА»

РАБОТЫ   76 , 77

для студентов 1 и 2 курса всех специальностей

под редакцией доцента Козлова В.А.

МОСКВА–2002

УДК 537.86

И46

            Ильин С.И. Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Физика». Работы 76, 77. – М.: МИИТ, 2002. – 20 с.

            Методические указания к лабораторным работам по физике № 76 и № 77 соответствуют программе и учебным планам по курсу общей физики (раздел «Колебания и волны») и предназначены для всех специальностей институтов ИУИТ, ИСУТЭ, ИЭФ.

Научный редактор доц. Козлов В.А.

Ó Московский государственный университет

    путей сообщения (МИИТ), 2002

Работа  № 76

РЕЗОНАНС НАПРЯЖЕНИЙ

 В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ

Цель  работы:изучение распределения напряжений на разных участках цепи электрического контура при резонансе и   вблизи него.

Введение                              

Резонанс напряжений возникает в электрическом контуре, содержащем последовательно соединенные катушку индуктивности L, конденсатор с электрической емкостью С и активное сопротивление R (рис.1).

                                    L

                     

     С                                                      R        

                      ~e                                                       Рис. 1

Будем считать, что источник тока, включенный в контур, имеет электродвижущую силу e, изменяющуюся со временем по синусоидальному закону:                                                               

,

где e_о  – амплитуда ЭДС;                                              

       W  – циклическая частота ЭДС.

  Если ограничиться случаем квазистационарных токов, то к мгновенным значениям силы тока i, ЭДС и напряжения  на обкладках конденсатора U_c  может быть применен закон Ома для участка цепи:

iR + U_c = åe,                                        (1)

где åe  –  алгебраическая  сумма  ЭДС источника  тока и  ЭДС  самоиндукции e_с  на   участке  с  сосредоточенной индуктивностью L.

Выразим в этом  уравнении силу тока в контуре, напряжение на конденсаторе и ЭДС самоиндукции через переменный заряд на обкладках конденсатора q:

 После подстановки получим неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка – уравнение вынужденных электрических колебаний.

.                                     (2)     

 Она определяет как общий характер, так и все  особенности вынужденных колебаний в контуре. Нас будут интересовать, в частности, зависимости от  времени силы  тока и  напряжений (на  разных участках  цепи) и  сдвиг по  фазе между  ними.

 Решение  уравнения (2)  состоит из  суммы общего  решения этого уравнения без  правой части  (однородного) и  частного решения неоднородного уравнения  (2). Решение однородного уравнения является затухающим электрическим колебанием. Если произведение >>1, то этим колебанием можно пренебречь. Поэтому решение установившихся электрических колебаний будем   искать в виде 

                               (3)

Определим, при  каких значениях амплитуды тока  i_o и  сдвига фаз  a между  силой тока и  вынуждающей  ЭДС  зависимость  i(t)  в виде  (3) обращает уравнение (2) в тождество. Из формулы (3) следует, что 

;

Подставив эти выражения в уравнение (2), получим:                  

. (5)

Используя соотношения

и ,            (6)

перепишем уравнение (5) в виде

                 (7)

Полученное соотношение между переменными токами и напряжениями  делается особенно наглядным, если изобразить его с помощью векторов. (Совокупность векторов напряжений или токов образует векторную диаграмму данной цепи). Рассмотрим цепь, используемую в данной работе (рис. 1). При подаче на концы этой цепи напряжения частотой W в ней возникает переменный ток той же частоты, амплитуда i₀  и фаза a которого определяются параметрами цепи. Выберем  произвольное направление, которое назовем осью токов (рис. 2).

 

                            Ri₀                                Ось токов

                         a

                          e₀                                     

  

Рис. 2

Этот ток вызовет  на активном   сопротивлении   напряжение , амплитуда которого равна Ri₀, а фаза совпадает  с  фазой  тока (второе слагаемое в левой части уравнения (7)).  Поэтому на  векторной  диаграмме вектор, изображающий  , нужно  отложить  по оси токов. Напряжение  на индуктивности   (с  амплитудой  LWi_o)  опережает  ток по  фазе на  p/2; поэтому вектор, изображающий   , должен быть  повернут относительно оси токов на угол p/2 против часовой стрелки. Наконец, напряжение на  емкости   (имеющее амплитуду  ) отстает от тока по фазе на p/2; следовательно, вектор, изображающий  , должен быть повернут относительно оси токов на угол p/2 по часовой стрелке.

      Напряжения  ,   и   в  сумме должны быть  равны  приложенному  к  цепи напряжению  e. Поэтому, сложив векторы, изображающие ,   и  , мы получим  вектор, изображающий  e (на рис.2 изображены амплитудные  значения  величин напряжений). Из  векторной диаграммы  легко  получить соотношения  (8) и  (9), определяющие разность фаз между  силой тока  в цепи и вынуждающей ЭДС и амплитуду силы тока в цепи.                    

                                  (8)

и формулу для амплитуды силы тока                       

                        (9)

где    – полное сопротивление цепи переменного тока;    R – активное  (омическое) сопротивление; – реактивное сопротивление.