Математические модели в форме дифференциальных уравнений в частных производных, описывающие процессы различной физической природы, с помощью известных приближённых методов сводятся к решению СЛАУ.
Таким образом, решение СЛАУ приобретает особое значение в процессе математического моделирования систем и процессов. В связи с этим необходимо уделить серьёзное внимание методам решения математических моделей этого класса.
В данной лабораторной работе рассмотрим две группы методов решения СЛАУ – прямые (точные) и итерационные (приближенные).
4.2. Информация к выполнения задания 1
Для реализации метода Гаусса в среде MathCAD требуется ввести понятие расширенной матрицы системы. Для системы (1) расширенная матрица имеет вид: . (3)
Прямой ход метода Гаусса приводит расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:
. (4)
Обратный ход преобразует матрицу (4) к виду
, (5)
где последний столбец содержит решение системы (1).
Для реализации метода Гаусса рекомендуется использовать следующие встроенные функции MathCAD:
augment(A,B) − формирует расширенную матрицу, путём добавления к матрице коэффициентов системы А столбца свободных членов B;
rref(AR) − приводит расширенную матрицу системы (3) к виду (5) , т. е. rref(AR) реализует прямой и обратный ходы метода Гаусса;
submatrix(AS,iн,iк,jн,jк) − выделяет фрагмент матрицы AS (iн и iк − номера соответственно начальной и конечной строк выделяемого фрагмента, jн и jк − номера начального и конечного столбцов выделяемого фрагмента).
Пример выполнения задания 1
Дана СЛАУ:
(6)
Фрагмент рабочего документа MathCAD
1. Задание матрицы коэффициентов системы А и вектора свободных членов B:
2. Формирование расширенной матрицы системы AR
3. Выполнение прямого и обратного ходов метода Гаусса и приведение расширенной матрицы системы AR к виду (5)
4. Выделение из матрицы AS последнего столбца, представляющего собой решение заданной системы X
5. Проверка правильности решения
4.3. Информация к выполнения задания 2
Для реализации метода LU- разложения рекомендуется использовать следующие встроенные функции MathCAD:
lu(A) − осуществляет LU-разложение матрицы A, а именно формирует составную матрицу Q:
для A =; Q =;
submatrix (Q, … , … , … , …) − выделяет фрагмент матрицы Q.
Пример выполнения задания 2. Решение СЛАУ (6).
Фрагмент рабочего документа MathCAD
1. LU-разложение матрицы коэффициентов A и формирование составной матрицы Q:
2. Выделение нижней треугольной матрицы L из составной матрицы Q:
3. Выделение верхней треугольной матрицы U из составной матрицы Q:
4. Определение вектора вспомогательных переменных G:
5. Определение вектора решения системы X
4.4. Информация к выполнения задания 3
Обозначение: det A= – определитель матрицы A.
Пример выполнения задания 3. Решение СЛАУ (6).
Фрагмент рабочего документа MathCAD
1. Проверка условия невырожденности матрицы A
2. Определение решения системы X
4.5. Информация к выполнения задания 4
Метод итерации относится к разряду приближённых.
Рекомендуется использовать специальный вычислительный блок MathCAD:
Given
··················· = ····
··················· = ····
··················· = ····
Find (x1, x2, … , xn)
Знак логического оператора «=» можно ввести в документ с панели инструментов Математика => палитры Операторы или с помощью сочетания клавиш Ctrl + =.
В качестве начальных (нулевых) приближений для искомых неизвестных:
рекомендуется принимать соответствующие значения свободных членов
Пример выполнения задания 4. Решение СЛАУ (6).
Фрагмент рабочего документа MathCAD
1. Задание начальных (нулевых) приближений для искомых неизвестных:
2. Нахождение решения системы (6)
10·x1–x2+10·x3=5
15·x1+20·x2+ x3=–10
–2·x1–10·x3=–1
4.6. Информация к выполнения задания 5
Пример выполнения задания 5. Решение СЛАУ (6).
Фрагмент рабочего документа MathCAD
4.7. Задания
1. Решить заданную СЛАУ ( из табл. 4.1.) методом Гаусса.
2. Решить заданную СЛАУ методом LU- разложения.
3. Решить заданную СЛАУ матричным методом.
4. Решить заданную СЛАУ методом итерации.
5. Решить заданную СЛАУ c помощью встроенной функции MathCAD lsolve (…)
Таблица 4.1
вариант |
СЛАУ |
Решение |
1 |
||
2 |
||
3 |
||
4 |
||
5 |
||
6 |
||
7 |
||
8 |
||
9 |
||
10 |
||
11 |
||
12 |
||
13 |
||
14 |
||
15 |
||
16 |
||
17 |
Библиографический список
1. Дьяконов В. П. Энциклопедия Mathcad 2001i и Mathcad 11 / В.П. Дьяконов М.: СОЛОН-Пресс, 2004. 832 с.
2. Ивановский Р.И. Компьютерные технологии в науке и образовании. Практика применения систем MathCAD Pro: Учебное пособие / Р.И. Ивановский. М.: Высшая школа, 2003. 431 с.
3. Голубева Н.В. Основы математического моделирования систем и процессов: Учебное пособие/ Н.В. Голубева. Омск, 2006. 96 с.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.