Розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) за точними методами, страница 3

Розглянуті методи відносяться до класу точних, так як теоретично при відсутності похибки обчислень дають точний розв’язок системи за визначене число обчислень. У дійсності похибка обчислень має місце внаслідок округлення чисел при їх поданні в ЕОМ. Ця похибка зростає з ростом обсягу обчислень і для великих за розміром СЛАР може стати неприйнятною. Наступний метод розв’язання СЛАР має більшу у порівнянні з вже розглянутими стійкість до процесу зростання похибки обчислень

Метод віддзеркалення

Для нормованого вектора    ()  матрицю

 (де  - одинична матриця відповідного розміру)

 звуть матрицею віддзеркалення внаслідок її властивості:

1)

тобто матриця є ортогональною.

2)   тобто євласним вектором з власним числом  .

3)  якщо  (вектори ортогональні) то ,тобто є власним вектором з власним числом  .

4) Будь-який вектор може бути розкладений по двом ортогональним векторам .  Тоді  , тобто вектор при множенні на матрицю ”віддзеркалюється” відносно ортогональної до вектора  площини.

Таким чином, щоб “віддзеркалити” вектор  на певний напрям, визначений одиничним вектором , його можна помножити зліва на матрицю віддзеркалення