Случайные сигналы и их характеристики. Изучение основных характеристик стационарных случайных сигналов

          МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

НОВОСИБИРСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ТЕХНИЧЕСКИЙ 
УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ  АВТОМАТИКИ  И  ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ  ТЕХНИКИ

Кафедра  Систем Сбора и Обработки Данных

ЛАБОРАТОРНАЯ  РАБОТА  № 12

СЛУЧАЙНЫЕ СИГНАЛЫ  И  ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Группа: АТ-73                                                         Преподаватель: доц. Щетинин Ю.И.

Студент: Витенкова С.Е.

Новосибирск

 2010

Цель работы: изучение основных характеристик стационарных случайных сигналов (среднего значения, автокорреляционной функции, спектральной плотности мощности)  и приобретение практических навыков  их вычисления и анализа в среде Matlab.

1.  Генерация 500 отсчётов случайного сигнала X с нулевым математическим ожиданием  и единичной дисперсией и вычисление оценок среднего и дисперсии для X.

Воспользуемся следующим script-файлом для генерации 500 отсчётов случайного сигнала X с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией и построения графика X.

N = 500;

X = randn(1,N);

n = 0:N-1;

plot(n, X);

Полученный график представлен на рис. 1.

Рис. 1. График случайного сигнала X.

Случайные процессы могут характеризоваться математическим ожиданием и дисперсией. Математическим ожиданием называется среднее значение случайной величины, а дисперсия характеризует рассеяние сигнала относительно его среднего значения.

Данные характеристики можно приближённо определить, зная N отсчётов сигнала, с помощью выражений (1) и (2).

                                                                                                         (1)

                                                                                         (2)

Воспользуемся пользовательскими функциями dispersiya() и ozhidanie() для определения оценок математического ожидания и дисперсии по выражениям (1) и (2).

function D = dispersiya(y)

% дисперсия

m = ozhidanie(y);

D = sum((y - m).^2)/(length(y)-1);

function m = ozhidanie(y)

% математическое ожидание

m = sum(y)/length(y);

Получим значения оценок:

При генерации были заданы нулевое математическое ожидание и единичная дисперсия. Видим, что полученные значения оценок близки к заданным. Причиной их неполного совпадения является то, что для получения оценок была использована конечная выборка из N отсчётов, а оценки сходятся к истинным значениям при .

2.  Построение графика плотности вероятности и гистограммы сигнала X.

С помощью следующего script-файла построим график плотности вероятности нормальной  случайной величины (по выражению (3)) и график гистограммы сигнала X с помощью функции hist().

                                                                                   (3)

x = -5:0.01:5;

f = (exp(-(x-m).^2/(2*D)))/(sqrt(2*pi*D));

subplot(2,1,1);

plot(x,f);

set(gca,'FontName', 'Times New Roman','FontSize', 10);

title('График плотности распределения вероятности');

subplot(2,1,2);

hist(X, 17)

set(gca,'FontName', 'Times New Roman','FontSize', 10);

title('Гистограмма случайного сигнала X');

Полученные графики представлены на рис. 2.

Рис. 2. График плотности распределения

вероятности и гистограммы.

Видим, что гистограмма случайного сигнала X сходна по форме  с графиком плотности распределения вероятности. Они не совпадают полностью, т.к. для построения гистограммы была использована конечная выборка из N отсчётов. Гистограмма сходится к графику плотности распределения вероятности при .

3.  Определение АКФ выходного сигнала системы аналитически и используя функцию conv().

Одной из характеристик случайного сигнала является его автокорреляционная функция (АКФ), которая определяется выражением (4).

                                                                                    (4)

АКФ определяет степень зависимости отсчетов сигнала, разделенных друг от друга интервалом m.

Белым шумом называется случайный процесс, АКФ которого равна нулю для любого , т.е. значения, разделенные интервалом m не зависят друг от друга. АКФ белого шума при  определяется выражением (5).

                                                                       (5)

Связь между АКФ дискретного выходного и входного сигналов системы определяется выражением

                                                                                                  (6)

Используя выражение (6), определим АКФ выходного сигнала системы с уравнением  при подаче на вход системы белого шума.

Определим импульсную характеристику заданной системы, подав на её вход единичный дельта-импульс .

Получим:

Рис. 3. Графики , , .

При  АКФ белого шума равна . Свёртка любого сигнала  с единичным импульсом  даёт исходный сигнал, значит, .

Пользуясь геометрическим смыслом операции свёртки, найдём .

Рис. 4. График АКФ выходного сигнала системы

 при подаче на вход белого шума.

Видим, что по сравнению с АКФ входного сигнала в выходном появились ненулевые составляющие при , т.е. выходной сигнал является коррелированным процессом в отличие от входного белого шума.

Определим АКФ выходного сигнала системы при подаче на вход случайного сигнала X, определённого в п.1.

Оценку АКФ сигнала X  можно определить по выражению

                                                  (7)

Оценку АКФ, определяемую выражением (7) можно вычислить с помощью функции xcorr() Matlab. Пользуясь данной функцией, найдём оценку АКФ сигнала X и построим график этой оценки.

[Kxx, lags] = xcorr(X, 'biased');

stem(lags, Kxx);

set(gca,'FontName', 'Times New Roman Cyr', 'FontSize', 10)

title('Оценка АКФ сигнала X');

xlabel('m');

Получим:

Рис. 5. График оценки АКФ случайного сигнала X.

Видим, что оценка сигнала X АКФ близка к АКФ белого шума (рис. 3), значит, связь между различными значениями сигнала X мала. Наличие составляющих при  объясняется конечностью выборки.

Используя функцию conv() Matlab, определим АКФ выходного сигнала по выражению (6).

h1 = [0     0   0.8   1   0.4];

h2 = [0.4   1   0.8     0   0];

c = conv(h1,h2);

Kyy = conv(c, Kxx);

stem(-(N+3):(N+3), Kyy)

set(gca,'FontName', 'Times New Roman Cyr', 'FontSize', 10)

title('АКФ выходного сигнала');

xlabel('m');

Рис. 6. АКФ выходного сигнала при подаче на вход сигнала X.

На увеличенном фрагменте рис. 6 можно видеть, что значения АКФ выходного сигнала при входном сигнале X близки к значениям АКФ выходного сигнала при подаче на вход белого шума (рис. 4). 

С помощью следующей последовательности команд построим графики АКФ входного и выходного сигналов для их сравнения.

subplot(2,1,1);

stem(lags, Kxx);

set(gca,'FontName', 'Times New Roman Cyr', 'FontSize', 10)

title('Оценка АКФ сигнала X');

subplot(2,1,2);

stem(-(N+3):(N+3), Kyy)

set(gca,'FontName', 'Times New Roman Cyr', 'FontSize', 10)

title('АКФ выходного сигнала');

xlabel('m');

Рис. 7. Графики АКФ входного и выходного сигналов фильтра.

На рис. 7 видим, что выходной сигнал более коррелирован, чем входной, т.к. присутствует большее число ненулевых составляющих и между значениями выходного сигнала есть зависимость.

4.  Построение диаграмм рассеивания выходного сигнала Y системы.