Разложение сигнала в ряд Фурье и построение графика амплитудного спектра

Задачи   2

Лекционный материал  -  лекции № 4  и   № 5, 6.

1.  Пусть сигнал  x(t) имеет вид  

Найти разложение сигнала в ряд Фурье и построить график амплитудного спектра.

Решение.

Общая форма комплексного ряда Фурье     ,   

Для заданного сигнала  .    Поэтому

Амплитудный спектр    

2. Найти ряд Фурье для сигнала

Решение.

   

Коэффициенты ряда Фурье

Таким образом ,    .

Для    , 

3. Периодический сигнал из предыдущей задачи подается на вход линейной системы с  частотной характеристикой . Найти постоянную составляющую выходного сигнала системы.
   Решение.
   При входном сигнале   x(t),  представленным рядом Фурье

,

выходной сигнал линейной системы имеет вид

,

где - частотная характеристика  системы.
Для системы  с частотной характеристикой   

, поэтому на выходе постоянная составляющая равна 0, т.е. система представляет собой фильтр верхних частот , не пропускающий постоянную составляющую.

4. Найти и построить  амплитудный и фазовый спектры следующего сигнала
   
   

Решение.

Аналитическое выражение сигнала 

период сигнала равен 1,  основная частота  .

Коэффициенты комплексного ряда Фурье сигнала

,

Модуль X_k      ,

фаза   X_k      .

Графики амплитудного и фазового спектров сигнала

5. Периодический  сигнал треугольной формы (см. предыдущую задачу) поступает на вход системы с импульсной характеристикой . Найти выходной сигнал системы y(t).

Решение.

Если входной периодический  сигнал x(t) представлен рядом Фурье вида

,

то выходной сигнал линейной системы имеет вид

,

где - частотная характеристика  системы.

В данном случае коэффициенты Фурье входного сигнала, найденные при решении предыдущей задачи, имеют вид

        .

Найдем частотную характеристику системы

Спектральные коэффициенты выходного сигнала

Выходной сигнал системы представляет собой ряд Фурье вида

.

6. Пусть  частота основной гармоники сигнала  , коэффициенты комплексной формы ряда Фурье  .  Какой вид имеет сигнал?

Решение.

График сигнала

7. Найти  частотный спектр периодической последовательности δ – функций (impulse train)

.

Решение.

8.     Сигнал   y(t) образуется как полусумма периодического сигнала  ,   сдвинутого влево и вправо на значение  t₀,  т.е.

.

Найти ряд Фурье сигнала y(t)  через ряд сигнала  x(t).  Определить значение t₀, при котором в сигнале y(t) будет отсутствовать  основная гармоника.

Решение.

.       Поэтому

Первая гармоника будет отсутствовать, если   т.е.  

Задачи для самостоятельного  решения.

1.    Задан сигнал  вида   .  Найдите комплексный ряд Фурье  и постройте график амплитудного спектра.
   Ответ:    .

2. Найдите коэффициенты комплексной формы ряда Фурье и постройте приближенно график амплитудного спектра  для сигнала вида квадратной волны

           Ответ:

3.  Определите  часть средней мощности, содержащейся в первых трех отличных от нуля гармониках для сигнала из предыдущего п.2.

Ответ:   .

4. Задан сигнал x(t) с периодом Т = 2

Получите ответы на следующие вопросы без явного вычисления коэффициентов Фурье сигнала

а)  найдите   ,

б)   найдите   X_0,

в)  вычислите 

Ответы:  а) 1.4.    б)  0,583,     в)   0,763.

5. Найдите коэффициенты Фурье сигнала

 

Ответ.   

6. Определите коэффициенты Фурье сигнала  и постройте его амплитудный и фазовый спектр.

Ответ.  .

7. Периодическая последовательность импульсов  с единичной амплитудой, периодом Т и длительностью  2τ  на интервале периода описывается выражением

Покажите, что коэффициенты ряда Фурье для такого сигнала имеют вид 

. Покажите, что при    коэффициенты не зависят от k, и спектр состоит из бесконечного числа линий одинаковой высоты. 

8. Определите коэффициенты и ряд  Фурье сигнала
   
   

Ответ.  

9.   Определите и постройте амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала

Ответ.    , 

10.    Разложите в ряд Фурье сигнал

и постройте его амплитудный спектр.
Ответ.