Поиск периода сигнала. Исследование характера поведения экспоненциального сигнала дискретного времени. Определение коэффициентов и ряда Фурье сигнала

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра  систем сбора и обработки данных

Дисциплина  «Теория и обработка сигналов»   

(5 - й семестр)

Расчетно-графическая работа

Выполнила:                                                                                                                Преподаватель:

Группа: АТ-53                                                                                                                            Щетинин Ю.И.

Студентка: Литвинцева Ю.В.

Шифр: 010805306

НОВОСИБИРСК

2007

Раздел 1

1.6. Нахождение периода сигнала

Сумма двух периодических сигналов  , где x₁(t) и  x₂(t) –периодические сигналы с периодами T₁ и Т₂ соответственно, является также периодическим сигналом с периодом, равным наименьшему общему кратному T₁ и Т₂.  Пусть ,  положим  . Для периодического сигнала 

.

Для сигнала cos(6t)  , для сигнала sin(8t)  ,  .  Поэтому период их суммы 

Ответ:   Период  T = π.

1.7.  Исследование характера поведения экспоненциального сигнала дискретного времени   при комплексных  значениях  .

Используя формулу Эйлера   , функцию x[n] можно выразить в виде   .

Данный  комплексный периодический сигнал имеет период  , действительная и мнимая части – гармоники с частотой  .

Если <1, то в области положительных значений n амплитуда функции будет затухающей. В области отрицательных значений, наоборот – возрастающей. Если >1, то функция затухает в области отрицательных значений, возрастает в положительной области.

Рис.1. График действительной части для =3>1; =π/4; =5; С=1

Рис.2. График действительной части для = (1/3)<1; =π/4; =10; С=1

Раздел 2

2.6. Определение коэффициентов и ряда  Фурье сигнала

,

Ответ:

2.7.  Определение амплитудного и фазового спектра  периодического сигнала и построение их графиков.

период сигнала равен 4,  основная частота  .

Модуль этого коэффициента равен:

 

Рис. 3. Графики амплитудного и фазового спектров сигнала.

Раздел 3.

3.6. Нахождение преобразования Фурье и построение графика амплитудного спектра сигнала

Преобразование Фурье экспоненциального сигнала .  

Согласно свойству  частотного сдвига

,   следовательно,  .

Преобразование Фурье  x(t)

Рис.4. Амплитудный спектр сигнала  для а=3, =5

3.7. Нахождение преобразования Фурье для дифференциального уравнения, связывающее вход x(t) и выход y(t) системы
                               

Определение отношения преобразований Фурье левой и правой части ( ).

Построение приближенных графиков модуля и фазы этого отношения от частоты. Интерпретация смысла функций на графиках.

Преобразование Фурье для y:

Преобразование Фурье для x:

Вещественная часть для a>0 всегда положительна, поэтому:

Рис. 5. Амплитудный и фазовый спектры отношения 

Раздел 4.

4.6. Докажем, что для действительной последовательности  x[n]  амплитудный спектр   является  четной функцией  от ω, а фазовый спектр - нечетной функцией  от  ω.

Сигнал x[n] можно представить в виде суммы четной и нечетной составляющей:

x[n]=x_e[n]+x_o[n], где первая – это четная составляющая, а вторая – нечетная.

Подставим это выражение в первую формулу:

Поскольку бесконечная сумма нечетной функции равна 0, запишем это равенство в следующем виде:

 

Для выражения амплитудного спектра видно, что под корнем получается четная функция, а значит и сам корень является четной функцией.

Для фазового спектра - так как в сумму числителя входит sin, то функция является нечетной.

4.7. Найдите вид сигнала x[n],  ДВПФ которого 

.

Из формулы для прямого ДВПФ:

Непосредственное сравнение левой и правой части дает:

    Отсюда

Ответ.    x[-2]=1,5,       x[-1]=1,          x[0]=1,    x[1]= -1,    x[2]=1,5.

Раздел 5.

5.6.  Вычисление свертки сигналов. Построение  графика свертки.

 

Используя свойство свертки ДПФ, запишем:

Вычислим свертку x[n] и h[n] для 0n 9:

В итоге y[n]=

Рис. 6. График свертки x[n] и h[n].

Ответ: 

5.7. Вычисление свертки двух непрерывных сигналов и построение её графика

В соответствии с геометрическим смыслом операция свертки заключается в зеркальном отражении одной из участвующих в свертке функций, сдвиге её на значение t, перемножении операндов и интегрировании результата перемножения.

 

Интервал интегрирования при этом разбивается на следующие подинтервалы:

1)  t<-1,  при этом x(τ) и h(t-τ) не перекрываются и  выходной сигнал y(t)=0.

2)  ,     x(τ),   h(t-τ) перекрываются  на интервале

3) 

Таким образом, результат свертки:

Рис. 7. График свертки сигналов h(t) и x(t).

Ответ.