Определение характера поведения сигнала при заданных комплексных значениях

Задачи 1

Лекционный материал  -  лекции № 1и № 2.

1.Какой характер поведения имеет сигнал   при комплексных  значениях  С и a?
Решение.
Пусть  C и a – комплексные. Выразим их как   и .  При этом
.
Используя формулу Эйлера   , функцию x(t) можно выразить в виде   .

Для  r = 0 получаем комплексный периодический сигнал с периодом  , действительная и мнимая части которого – гармоники с частотой 

.

Для  r < 0  имеем комплексный периодический сигнал, умноженный на затухающую экспоненту. Действительная и мнимая часть такого сигнала – затухающие гармоники.

График поведения действительной части для

При   получаем периодический комплексный сигнал,  действительная и мнимая части которого гармоники с возрастающей амплитудой

График действительной части для

2. На рис. приведен сигнал x(t).  

Построить графики сигналов
а) x(-t),   б) x(2t),     в)x(t-2),     г)x(t+2).

Решение. 

а)                                                                               б)

в)                                                                                  г)   

3.  Пусть сигнал x(t) имеет вид

Найти  x(2t+1).

Решение. Преобразование  x(2t+1) – совокупность двух операций над x(t): временной сдвиг влево  на  1 и сжатие по времени с коэффициентом 2.

      Результат

4.  Сигнал x(t)  имеет вид

             

Определить четную и нечетную составляющие сигнала.

Решение.

Для получения  x(-t)  реверсируем x(t) по аргументу t.

Четная составляющая сигнала 

Нечетная  составляющая

5.  Сигнал  , Определить период x(t).

Решение.

            Сумма двух периодических сигналов  , где x₁(t) и  x₂(t) –периодические сигналы с периодами T₁ и Т₂ соответственно, является также периодическим сигналом с периодом, равным наименьшему общему кратному T₁ и Т₂.  Пусть ,  положим  . Для периодического сигнала 

.

Для сигнала cos(3t)  , для сигнала sin(5t)  ,  .  Поэтому период их суммы 

6.  Дискретный во времени сигнал имеет вид

.  Определить период x[n].

Решение. 

      Если x[n] – периодический с периодом N сигнал, то

По условию периодичности  x[n]

     Или     

Наименьшее  N, удовлетворяющее этим условиям, - это наименьшее общее кратное чисел 6 и 20, следовательно, период  N = 60.

7.  При каком условии гармоника дискретного времени является периодическим сигналом?
Решение.
Гармоника непрерывного времени - периодическая с периодом  .
Гармоника дискретного времени 

периодическая, если  имеется такое  N > 0, что  , т.е. . Следовательно,  должно выполняться условие

, где m, N -  положительные целые числа. Основная угловая частота должна быть равна  .

8.  Уравнение системы  .  Является ли эта система

а)  стационарной (инвариантной во времени)?

б)  линейной?

в)  физически осуществимой (каузальной)?

г)   устойчивой?

Решение.

      а)  Положим .  Тогда  . Следовательно, система стационарная.

      б)  Для ответа на вопрос о линейности системы положим   .  При этом  x₂(t)=2x₁(t),  но  y₂(t)≠2y₁(t), что должно быть для линейной системы, значит, система – нелинейная.

      в)   Система является каузальной, поскольку выходной сигнал  y(t₀) в момент t₀  зависит только от сигнала при t₀  и не зависит от будущих значений сигнала.

      г)   Чтобы ответить на вопрос об устойчивости системы, возьмем ограниченный входной сигнал  ,  тогда  .  Следовательно, система - устойчивая.

9.  .  Пусть система дискретного времени описывается уравнением: 

Является ли эта система

а)  стационарной (инвариантной во времени)?

б)  линейной?

в)  устойчивой?

Решение.

а)   Пусть  .  Тогда выходной сигнал системы  .

Для стационарной (инвариантной во времени) системы должно выполняться условие

.

Так как  , то система нестационарная.

б)  Линейная система должна удовлетворять принципу суперпозиции.

     Для входного сигнала   выходной сигнал .

Аналогично для      .

Линейной комбинации этих сигналов   соответствует выход системы

.

Для линейной системы выход должен удовлетворять условию

.

Поскольку  ,  то система нелинейная.

в)  Для устойчивой системы ограниченному входному сигналу должен соответствовать ограниченный выходной сигнал. Для данной системы  соответствует неограниченный  выход. Значит, система – неустойчивая.

Задачи для самостоятельного решения

1. Пусть сигнал x(t) имеет вид

Найдите   x(3t-2).

Ответ.

2. Дискретный по времени сигнал имеет  вид

Найдите   x[4-2n].

Ответ.

3. Определите четную и нечетную составляющие сигнала  x(t)  и постройте их графики

Ответ.

4.  Пусть
                 

периодический с периодом Т непрерывный во времени сигнал. Изобразите  графики сигнала для

и

           

5.  Найдите  период сигнала

 
Ответ.   Период  T = π.

6.  Исследуйте характер поведения экспоненциального сигнала дискретного времени   при комплексных  значениях  .

7.  Определите, является ли периодическим сигнал   и найдите его период.

Ответ.   Периодический сигнал с периодом .

8.   Является ли линейной и инвариантной во времени  система с уравнением  ?
Ответ. 

Система – линейная, неинвариантная во времени.

10.    Определите, является ли линейной, стационарной (инвариантной во времени) и устойчивой система- интегратор с уравнением ?

Ответ.  Система   - линейная, инвариантная во времени, но неустойчивая.