Определение периодического сигнала. Разложение сигнала в ряд Фурье. Определение амплитудного и фазового спектра периодического сигнала

НОВОСИБИРСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ТЕХНИЧЕСКИЙ 
УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ  АВТОМАТИКИ  И  ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ  ТЕХНИКИ

Кафедра  Систем Сбора и Обработки Данных

Расчетно-графическая работа по курсу

«Теория и обработка сигналов»

5 - й семестр

Вариант – 8,9.

Студент=[Введите студента]                           Преподаватель:

Факультет: АВТ                                             [Введите препода]

Группа=[Введите группу]                                                  

Новосибирск

2006

1.8. Определите, является ли периодическим сигнал   и найдите его период.

Ответ.   Периодический сигнал с периодом .

Сигнал является периодическим, если x(t)=x(t+T). Проверим это для заданной функции:

x(t+T)=[cos(1-2(t+T)+1]²=[cos(1-2t-2T)+1]²

Так как cos – это периодическая функция с периодом π, то данная функция так же является периодической с Т= π.

     1.9.  Является ли линейной и инвариантной во времени  система с уравнением              ?
Ответ. 

Система – линейная, неинвариантная во времени.

Система является линейной, если она удовлетворяет принципу суперпозиции. То есть, если

, то

Проверим это для данной системы:

2.8. Разложите в ряд Фурье сигнал

и постройте его амплитудный спектр.

Ответ. 

Т=8, w₀=

Так как функция четная, то =0. Найдем :

 

При всех четных k коэффициент обращается в 0,а при нечетных равен либо 1, либо -1,  поэтому его можно заменить эквивалентным выражением:

Так как мнимая часть отсутствует, то амплитудный спектр будет описывать сама функция.

Его амплитудный спектр (без постоянной = 4):

k=-15:0.1:15;

x=4./(k*pi);

y=x.*sin(k*pi./2);

plot(k,y);

title('Amplitude');

xlabel('k');

2.9. Определите амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала и постройте их графики

Ответ.               

Т=10

w₀=π/5

Видно, что при четных k коэффициент обращается в 0, а при нечетных – в 2. Поэтому его можно упростить:

 

Так как функция четная, то второй коэффициент, как и в первом случае равен 0.

Ряд Фурье :

Построим амплитудный спектр:

k=-15:0.1:15;

x=2./(k*pi).^2;

y=x.*(1-cos(k*pi));

plot(k,y);

title('Amplitude');

xlabel('k');

Так как  - действительное значение, то фазовый спектр является величиной постоянной и он равен 0.

3.8. Найдите преобразование Фурье и постройте приближенный вид графика амплитудного спектра следующего сигнала

,  где  u(t)  - единичная ступенчатая функция.

Ответ:        .

  

Поэтому можно сначала найти ПФ для , а затем использовать свойство временного сдвига ПФ.

Теперь используем свойство сдвига. ПФ заданного сигнала будет состоять из 2-х слагаемых, так как cos равен половине суммы двух экспонент. В первом слагаемом это будет сдвиг w на 4, а во втором на -4. Для заданного сигнала ПФ будет иметь вид:

w=-10:0.01:10;

f=0.5./(2+j*w+j*4);

y=f +0.5./(2+j*w-j*4)

plot(w,abs(y));

title('Amplitude');

\

3.9. Найдите вид сигнала во временной области, если преобразование Фурье сигнала имеет вид 

.

Ответ.   

   соответствует ПФ= , поэтому x(t) для заданного ПФ

Будет иметь вид: , так как Т1=1, и в ПФ присутствует коэффициент, равный 2.

4.8.  Определите ДПФ сигнала  ,  для N = 8.

Ответ:   X[k] = {0      -j4       0          0          0          0          0          j4}

Остальные значения можно определить, используя свойство сопряженности.

Например, на месте 5-ом будет стоять комплексное сопряжение для 8-5=3-его места, на 6-ом – комплексное сопряжение для 2-го, на 7-ом, комплексное сопряжение для 1-го.

ДПФ имеет вид:

X(jw)={0,-4j,0,0,0,0,0,4j}

4.9.  Вычислите ДВПФ и ДПФ сигнала  .
Ответ.   ,      

5.8.  Вычислите дискретную свертку двух сигналов, изобразите график свертки

Ответ. 

График свертки:

5.9.  Вычислите свертку двух непрерывных сигналов и изобразите её график

.

Ответ.  

t=-10:0.01:2;

x=exp(3*t);

subplot(211);

plot(t,x);

title('x(t)');

T=-5:0.01:5;

h=rectpuls(T-0.5,5);

subplot(212);

plot(T,h);

title('h(t)');

xlabel('time');

В данном случае лучше взять x(t-τ). Получим выражение для свертки:

После «зеркального отображения» сигнала x(t), то есть x(-t), а так же его сдвиге на t=3, пересечение с сигналом h(t) будет равно нулю. Поэтому для всех t>3, y(t)=0. Для t, лежащего в интервале от -2 до 3, свертку необходимо искать в таком виде :

Если же t<= -2 то свертку надо искать так:

График свертки:

t1=-10:0.01:-2;

f1=(1./3).*(exp(3*t1+6)-exp(3*t1-9));

t2=-2:0.01:3;

f2=(1./3).*(1-exp(3*t2-9));

t3=3:0.01:10;

f3=0;

plot(t1,f1,t2,f2,t3,f3);