Изучение понятия и свойств свертки

6. Свойство (теорема) свертки.

Если последовательности  и  имеют дискретные преобразования Фурье  и , то последовательность   вида

будет  иметь ДПФ   , заданное выражением

т.е. дискретной свертке во временной области соответствует произведение ДПФ умноженное на  N.

В дальнейшем дискретную свёртку будем обозначать также символом  Ä.

Доказательство. Запишем ДПФ для  y[k]

                                                                                             (5.34)

Выразим y[k] через свертку и изменим порядок суммирования, тогда

                                                                  (5.35)

Обозначим  k - j = m, при этом  k = j + m. Следовательно,

            (5.36)

Свойство свертки особенно широко используется в задачах цифровой обработки сигналов , линейной фильтрации, анализе временных рядов.

Рассмотренные свойства показывают, что многие из средств обычного непрерывного преобразования Фурье применимы к ДПФ. Однако некоторые из свойств не выполняются для ДПФ, а другие видоизменяются из-за периодичности дискретных преобразований. В таблице  5.1 приведена сводка основных свойств ДПФ.