Изучение методов анализа линейных дискретных стационарных (инвариантных во времени) систем. Вариант 11

Министерство науки и образования РФ

Новосибирский государственный технический университет

Лабораторная работа № 10

по дисциплине "Теория и обработка сигналов"

Линейные дискретные системы

Выполнил:                                                              Преподаватель: к.т.н., доцент

Студент: Макаров С.В.                                          Щетинин Ю.И.

Группа: АИ-92

Факультет: АВТ

Новосибирск

2011

Цель работы: изучение методов анализа линейных дискретных стационарных (инвариантных во времени) систем и приобретение практических навыков  их анализа в среде Matlab.

1. Дискретизация аналогового фильтра

Исходные данные: ФНЧ, ,  R=1000 Ом,    С=0,5 мкФ.

2

1

(1)

Рис. 1. Схема ФНЧ

При заданных параметрах АЧХ фильтра имеет вид:

Рис. 2. АЧХ фильтра

По АЧХ видно, что схема представляет собой ФНЧ, то есть пропускает низкие частоты лучше, чем высокие. Частота среза – это частота, при которой амплитудная частотная характеристика (АЧХ) снижается  до уровня  (в децибелах – на 3 дБ) от максимального значения. Граничная частота полосы пропускания по уровню 3дБ для такого фильтра определяется из условия:

Амплитудному значению  на АЧХ соответствует частота среза 1414.4 рад/c или 225.2 Гц (рис. 3).

Рис. 3. Увеличенный фрагмент АЧХ фильтра

Введем обозначения: ,    тогда 

Запишем  по виду передаточной функции дифференциальное уравнение, связывающее выходное и входное напряжения фильтра:

(2)

Произведем дискретизацию аналогового фильтра с интервалом отсчетов  Δt. Для этого заменим в выражении (2) производную конечной разностью вида

где   - величина шага приращения        времени (интервал дискретизации)

 ,        

Формула для производной второго порядка через конечные разности

               

Уравнение (2) преобразовывается к виду:

Положим    и обозначим  и аналогично

(3)

Верхняя граничная частота дискретного фильтра равна половине частоты отсчетов F_s.  Выберем для данного случая значение F_s = 10 ⁴ Гц, что соответствует интервалу (периоду) отсчетов     

Подставив в выражение (7) выбранные значения , сопротивлений и емкостей и преобразовав результат, получим разностное уравнение:

                                                 (4)

Возьмем  Z- преобразование от левой и правой части уравнения (4). С учетом теоремы сдвига получим:

Запишем передаточную функцию дискретного фильтра как отношение Z-преобразований выходного и входного сигналов

(5)

таким образом получили передаточную функцию ДС:         

Ниже, на рис.4, приведены АЧХ исходного аналогового и результирующего дискретного фильтра

Рис. 4. Графики АЧХ аналогового и дискретного фильтров

На рис. 4 видно, что АЧХ аналогового и дискретного фильтров соответствуют друг другу, но имеют допустимые расхождения. Следовательно, дискретизация фильтра выполнена верно

2. Разложение передаточной функции ДС на простые дроби              

Воспользуемся следующей последовательностью команд для определения полюсов, вычетов и коэффициентов целой части.

b=[0.02];

a=[1 -1.8 0.82];

[r,p,k] = residuez(b,a)

Результат:

r =

   0.0100 - 0.0900i

   0.0100 + 0.0900i

p =

   0.9000 + 0.1000i

   0.9000 - 0.1000i

k =

     []

Используя полученное разложение, найдём аналитически импульсную характеристику системы как обратное Z – преобразование от передаточной функции

Построим график импульсной характеристики:

n = 1: 100;

h = (0.01-j*0.09).*(0.9+j*0.1).^n + (0.01+j*0.09).*(0.9-j*0.1).^n;

stem(n, h)

Рис. 5. График аналитически определенной импульсной характеристики

          Характеристика системы стремится к константе (нулю), значит система устойчива и для ограниченного входного сигнала получим ограниченный выходной сигнал.

3. Построение диаграммы нулей и полюсов системы

          С помощью следующей программы определим нули и полюса системы и построим диаграмму полюсов и нулей:

     num = [0.02];

     den = [1  -1.8  0.82];

     Z = roots(num)

     P = roots(den)

     zplane(Z, P)

          Результат:

     Z =

        Empty matrix: 0-by-1

     P =

        0.9000 + 0.1000i

        0.9000 - 0.1000i

          Система имеет 2 комплексно-сопряженных полюса и не имеет нулей.

Рис. 6. Диаграмма полюсов и нулей системы

Полюса и нули лежат внутри единичной окружности - система устойчива, что соответствует виду импульсной характеристики (рис. 5).

4. Определение частотной характеристики системы

num = [0.02];

den = [1  -1.8  0.82];

[h,f] = freqz (num, den, 100000, 10^4);

subplot(2,1,1), plot(f, abs(h))

title('АЧХ цифрового фильтра'), grid

subplot(2,1,2), plot(F, angle(H))

title('ФЧХ цифрового фильтра');

xlabel('Частота, Гц'), grid

Рис.5.Частотные характеристики ДС

          Видим, что система является фильтром нижних частот. Частота среза  данного фильтра по уровню 3 дБ равна 249 Гц.

5. Фильтрация сигнала с помощью функции filter()

num = [0.02];

den = [1  -1.8  0.82];

n = 0:0.00001:0.04;

x1 = sin(2*pi*3000*n);

x2 = sin(2*pi*20*n);

x3 = x1 + x2;

y = dlsim(num, den, x3);

subplot(4,1,1);

plot(n, x1);

title('3000 Гц');

subplot(4,1,2);

plot(n, x2);

title('20 Гц');

subplot(4,1,3);

plot(n, x3);

title('Исходная сумма гармоник');

subplot(4,1,4);

plot(n, y);

title('Отфильтрованный сигнал');

Рис. 8. Иллюстрация применения цифрового фильтра

6. Исследование влияния расположения нулей и полюсов на частотную характеристику системы

1) Возьмем полюса с противоположными знаками:

     Z = [];   P = [ -0.9-j*0.1 ; -0.9+j*0.1 ];

     zplane(Z, P)

Рис. 9. Диаграмма нулей и полюсов

     Z = [];   P = [ -(0.9+j*0.1) ; -(0.9-j*0.1) ];

     [num,den]=zp2tf(0,P, 1);  

     freqz(num,den,1000,10000)

Рис. 10. АЧХ и ФЧХ системы

           Получили фильтр верхних частот

2) Возьмем полюса 0.5 + j0.1 и 0.5 - j0.1

Рис. 11. Диаграмма нулей и полюсов

      Z = [];     P = [ (0.5+j*0.1) ; (0.5-j*0.1) ];

     [num,den]=zp2tf(0,P, 1);  

     freqz(num,den,1000,10000)

Рис. 12. АЧХ и ФЧХ системы

При уменьшении действительных частей полюсов получили ФНЧ с более пологими частотными характеристиками

7.  Определение импульсной характеристики системы с помощью функций impz() и dimpulse()

     num = [0.02];  den = [1  -1.8  0.82];

     [H,T] = IMPZ(num,den, 100);

     figure(1), stem(T, H)

     title('Импульсная характеристика');

     xlabel('n');

     figure(2), dimpulse(num, den, 100)

Рис. 13. Импульсная характеристика системы, найденная с помощью impz()

Рис. 14. Импульсная характеристика системы, найденная с помощью dimpulse().

  Графики импульсных характеристик на рис.13 и рис. 14 совпадают с графиком аналитически определенно импульсной характеристики (рис. 5).

8. Построение графика переходной характеристики фильтра с помощью функции dstep()

     num = [0.02];

     den = [1  -1.8  0.82];

     dstep(num, den, 100)

Рис. 15. Переходная характеристика системы, найденная с помощью dstep().

          Переходная характеристика – это реакция системы на входной сигнал в виде единичной последовательности при нулевых начальных условиях. Её можно определить через импульсную характеристику:

Это можно подтвердить, проанализировав импульсную и переходную характеристики нашей системы (рис. 5, 13, 14 и рис. 15)

Выводы:

          1. Дискретные линейные стационарные системы описываются линейными разностными уравнениями с постоянными коэффициентами.  Разностное уравнение, описывающее дискретную систему можно получить из дифференциального уравнения, задающего аналоговую систему, с помощью процедуры дискретизации

Такую процедуру мы провели в пункте 1 и проанализировали ее результаты: АЧХ дискретной системы сходится с АЧХ аналоговой системы, которую мы дискретизировали (наглядно видно на рис. 4)

          2. Характеристикой систем в области переменной z является передаточная функция, которая определяется как отношение Z - преобразований выходного и входного сигналов.

          В пункте 1 мы получили передаточную функцию ДС, использовав обратное Z-преобразование для линейного разностного уравнения системы.

          3. Импульсной характеристикой системы является выходной сигнал системы при подаче на её вход функции .

          В пункте 2 лабораторной работы мы нашли импульсную характеристику ДС как обратное Z-преобразование передаточной функции системы, что делается аналитическим способом.

          В MATLAB для нахождения импульсной характеристики можно использовать функции impz() и dimpulse(). Их работу мы изучили и продемонстрировали в пункте 7

          4. Передаточную функцию можно определить зная  расположение нулей и полюсов исследуемой системы в z-плоскости.

          5. АЧХ и ФЧХ системы характеризуют изменение амплитуды и фазы гармоники соответственно при прохождении через систему

          В пункте 4, с использованием функции freqz(), мы нашли АЧХ и ФЧХ исследуемой системы