Изучение Z-преобразования и дискретно-временного преобразования Фурье. Вариант 7

НОВОСИБИРСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ТЕХНИЧЕСКИЙ 
УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ  АВТОМАТИКИ  И  ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ  ТЕХНИКИ

Кафедра  Систем Сбора и Обработки Данных

Дисциплина  «Теория  и  обработка  сигналов»,     6 - й семестр

ЛАБОРАТОРНАЯ  РАБОТА  № 8

Z - преобразование 

и  дискретно – временное  преобразование  Фурье

Выполнила: Ездакова  Е.А.                           Преподаватель: Щетинин Ю.И.

Группа:         АТ-53

Вариант:       №7

                                                   Новосибирск, 2008

Цель работы:Изучение  Z – преобразования и дискретно – временного преобразования  Фурье (ДВПФ),  их вычисления  в среде Matlab.

Порядок выполнения работы:

1.  Выражения прямого и обратного Z - преобразования.  Нахождение аналитически Z – преобразование сигналов и их областей сходимости :
а)  x[n] = δ[n],

б)  x[n] = u[n],
в)  x[n] = cos ωn.

Прямое и обратное Z – преобразования:

а) Z – преобразование сигнала   x[n] = δ[n]:

Область сходимости вся z-плоскость.

б) Z – преобразование сигнала    x[n] = u[n]:
.

.

Полюс  - точка .

Область сходимости:  - внешность окружности единичного радиуса.

в)Z – преобразование сигнала    :

По формуле Эйлера:

 Аналогично:

,где  ().

По свойству линейности Z-преобразования    :

Область сходимости:  - внешность окружности единичного радиуса.

3. Нахождение с помощью функции   ztrans()  Matlab Z – преобразования сигналов (последовательностей), их запись в обычной математической форме:

     а)   x[n] = aⁿ cos ωn,
     б)   x[n] = n² e²ⁿ,

     в)   x[n] = cos²n.

а) Z-преобразование последовательности :

symsawn

X=ztrans(a.^n*cos(w*n))

X =(z/a-cos(w))*z/a/(z^2/a^2-2*z/a*cos(w)+1)

б) Z-преобразование последовательности :

syms n

y=ztrans(n.^2*exp(2*n))

y =z*exp(2)*(z+exp(2))/(z-exp(2))^3

в) Z-преобразование последовательности :

symsn

y= ztrans(cos(n).^2)

y=(z^2+z-3*z*cos(1)^2+cos(1)^2)*z/(z^3+z^2-4*z^2*cos(1)^2-z+4*z*cos(1)^2-1)

4. Определение сигнала во временной области (оригинал) по его Z – преобразованию, используя функцию iztrans()  Matlab:

 а)  ,

б)  .

а) Сигнал, имеющий Z-преобразование :

symsz

y= iztrans(z*(z+1)/(z-1).^3)

y =n^2

б) Сигнал, имеющий Z-преобразование :

syms z

y= iztrans((z.^2-0.2*z-0.8)/(z.^2-0.3*z-0.1))

ans =8*charfcn[0](n)-36/7*(-1/5)^n-13/7*(1/2)^n

charfcn[0] – единичный импульс, где ненулевое значение только в точке равной нулю.

 

5. Разложение функции рационального Z – преобразования на простые дроби (индивидуальное задание,  Приложение 1) с помощью функции residuez(). Нахождение аналитически  обратного Z – преобразования, используя это разложение.  Проверка результата с помощью iztrans().

Задание:

Функция  выполняет разложение на простые дроби рациональной Z-функции  с вектором коэффициентов полинома числителя num и вектора коэффициентов полинома знаменателя den. Результат функции: r – вектор вычетов, p – вектор полюсов, k – вектор коэффициентов целой части разложения.

Разложение на простые дроби:

num = [0,1,0.8];

den = [1,-0.3,-0.1];

[r,p,k] = residuez(num,den)

r =       3.7143                                    p =       0.5000                                    k =    -8

4.2857                                     -0.2000

Обратное Z-преобразование:

Поскольку , то  и , а т.к. , то .

.

Проверка:

 syms z

y= iztrans((z+0.8)/(z*z-0.3*z-0.1))

 y =

что соответствует результату, полученному аналитически.

  6. Решение с помощью Z– преобразования линейного разностного уравнения с постоянными коэффициентами (вариант – по индивидуальному заданию,  Приложение 3):

8.       .

 Проверка правильности решения подстановкой в исходное уравнение.

Свойство временного сдвига:

Z-преобразование от уравнения, с учётом свойства временного сдвига:

Z-преобразование входного сигнала:

Решение в Z-области с учётом начальных условий :

Обратное Z-преобразование:

Проверка:

7. Выражения прямого и обратного дискретно-временного преобразования Фурье (ДВПФ). Связь ДВПФ и Z – преобразования.
     Вычисление аналитически Z – преобразования  и ДВПФ сигнала:
                                 

Прямое ДВПФ сигнала (для дискретных систем):

 

Обратное ДВПФ сигнала:

Дискретно – временное преобразование Фурье представляет собой Z - преобразование на единичной окружности  z– плоскости.

ДВПФ сигнала:

Как видно дискретному сигналу  в соответствие ставится непрерывная функция . Сигнал представляется в виде суммы комплексных гармоник с амплитудами равными значениям дискретного сигнала. Т.о. можно сделать вывод, что ДВПФ - это ряд Фурье по переменной , а коэффициентами этого ряда являются значения дискретного сигнала.

Z – преобразование:

ОС:  

8.  Нахождение с помощью программы из Приложения 5 ДВПФ сигналов:
а)     x[n] = e ^-0,5n,
б)    

в)       

для значения  M = 64.
Построение графиков сигналов и амплитудного и фазового спектров этих сигналов.

а) ДВПФ сигнала :

n=0:20;

x=exp(-0.5*n);

[X,w]=DTFT(x,64);

subplot(211)

plot(w,abs(X)),

title('Amplitude spectrum {exp}^{-0.5*{\itn}} '),grid ,

subplot(212)

 plot(w,angle(X)), 

title('Phase spectrum   {\itx} = {exp}^{-0.5*{\itn}} '), grid ,

xlabel('w, rad/sec')

Рис.1. Амплитудный и фазовый спектры сигнала , при n=5 и 20

 ДВПФ является периодической функцией с периодом , поэтому достаточным было отобразить фазовый и амплитудный спектры в интервале . Как видно из графиков, амплитудный спектр ДВПФ – чётная функция, а фазовый спектр – нечётная функция.

 - дискретная функция,  - непрерывная функция.

б) ДВПФ сигнала :

n=1:9;

x(n)=1;

[X,w]=DTFT(x,64);

subplot(211)

plot(w,abs(X)),

title('Amplitude spectrum x(n)=1 '),grid ,

subplot(212)

 plot(w,angle(X)), 

title('Phase spectrum  x(n)=1 '), grid ,

xlabel('w, rad/sec'),

Рис.2. Амплитудный и фазовый спектры сигнала

Для непрерывного прямоугольного импульса преобразование Фурье имеет аналогичный вид  с единственным отличием: график спектральной плотности – функция непериодическая.

ДВПФ   :

n=1:20;

x(n)=(power(0.5,n)).*cos(pi*n/3);

[X,w]=DTFT(x,64);

subplot(211)

plot(w,abs(X)),

title('Amplitude spectrum  '),grid ,

subplot(212)

 plot(w,angle(X)), 

title('Phase spectrum  '), grid ,

xlabel('w, rad/sec'),

Рис.3. Амплитудный и фазовый спектры сигнала

9. Программа из Приложения 6, иллюстрирующая некоторые из свойств ДВПФ.

Приложение 6.  Процедура иллюстрации свойств ДВПФ

N = 128; %  Длина сигналов

k = 0:N-1;

gamma = -0.1;

g = exp(gamma*k);

% g - экспоненциальная функция

h = sin(2*pi*k/(N/4));

figure(1)

subplot(211),stem(k,g)

legend('exp(gamma*k)')

subplot(212),stem(k,h)

legend('sin(2*pi*k/(N/4))')

% h - синусоидальная последовательность с периодом = N/4

% вычисление ДВПФ

[G,w] = DTFT(g,512);

[H,w] = DTFT(h,512);

figure(2)

subplot(211), plot(w,abs(G))

subplot(212), plot(w,abs(H))

legend('w=2*pi/32=0,2')

% Свойство линейности

alpha = 0.5;

beta = 0.25;

y = alpha*g+beta*h;

[Y,w] = DTFT(y,512);

% Графики Y и  alpha*G+beta*H для проверки их равенства

figure(3), subplot(211),plot(w,abs(Y))

subplot(212), plot(w,abs(alpha*G+beta*H))

%input(' Для продолжения нажмите любую клавишу')

% Свойство временного сдвига

n0 = 12;

% y2 - последовательность y, сдвинутая на 12 отсчетов

y2 = [zeros([1,n0]) g];

[Y2,w] = DTFT(y2,512);

G0 = exp(-j*w*n0).*G;

% Графики амплитудных спектров

figure(3), subplot(211), plot(w,abs(G0))

subplot(212), plot(w,abs(Y2));

% Свойство изменения масштаба

a=0.1;  % Коэффициент изменения масштаба

g1= exp(gamma*k*a);

figure(4),plot(k,g,k,g1) % Графики во временной области

legend('g','g1')

[G,w] = DTFT(g,512);

G1 = DTFT(g1,512);

% Графики спектров

figure(5), subplot(211), plot(w,abs(G))

subplot(212), plot(w,abs(G1))

% Свойство свертки

y5 = conv(g,h);

[Y5,w] = DTFT(y5,512);

figure(6), subplot(211), plot(w,abs(Y5))

subplot(212), plot(w,abs(G.*H))

% Теорема Парсеваля

val1 = sum(g.*g);

val2 = sum(G.*conj(G))/512;

% Сравнение val1 с  val2

disp('Разность   val1-val2 = ')

disp(val1-val2)

Разность   val1-val2 =

 -8.8818e-016