Изучение Z-преобразования и дискретно-временного преобразования Фурье

Министерство образования и науки РФ

Новосибирский Государственный Технический Университет

Кафедра Систем Сбора и Обработки Данных

Дисциплина «Теория и обработка сигналов», 6-й семестр

Отчет

ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ №8

«Z - преобразование 

и  дискретно – временное  преобразование  Фурье»

Факультет: АВТ

Группа: АО-61

Вариант: 9

Студенты:      Горлов А.                                                    Преподаватель: Доц. Щетинин Ю.И.

Пономаренко Ю.

Новосибирск, 2009

Цель работы: Изучение  Z – преобразования и дискретно – временного преобразования  Фурье (ДВПФ),  их вычисления  в среде Matlab.

Исходные данные:

1.  Индивидуальное задание к п.5 для разложения на простые дроби

2.  Индивидуальное задание к п.6 для получения навыков решения разностных уравнений с постоянными коэффициентами с помощью Z-преобразования

1.  Нахождение Z-преобразования аналитическим методом для следующих выражений:

а)  x[n] = δ[n],

б)  x[n] = u[n],
в)  x[n] = cosωn.

Прямое одностороннее Z-преобразование: , где  - комплексная переменная,  - функция дискретного сигнала, n – число отсчетов. Таким образом, Z-преобразование - степенной ряд от z^-1, который ставит в соответствие функции x[n] функцию комплексной переменной X(z). Используется как инструмент анализа дискретных и цифровых систем.

Обратное Z-преобразование: , где X(z) – функция комплексной переменной z,  - интеграл по замкнутому контуру С, который охватывает все особые точки (полюса) X(z). Используется для получения дискретного сигнала  по его Z-преобразованию.

a)  x[n] = δ[n]

b)  x[n] = u[n]

c)  x[n] = cos ωn

2.  Нахождение Z-преобразования для следующих выражений cпомощью функции ztrans()  Matlab:

а)   x[n] = aⁿ cos ωn

б)   x[n] = n² e²ⁿ

в)   x[n]=cos²n

а)   x[n] = aⁿ cos ωn

% нахождение прямого z-преобразования

>> syms X x a w n

>> x=(a^n)*cos(w*n)

>> X=ztrans(x)

X = (z/a-cos(w))*z/a/(z^2/a^2-2*z/a*cos(w)+1)

б)   x[n] = n² e²ⁿ

% нахождение прямого z-преобразования

>> syms X x r w0 n e

>> x=n^2*e^(2*n);

>> X=ztrans(x)

X = -z*e^2*(z+e^2)/(-z+e^2)^3

в)   x[n]=cos²n

% нахождение прямого z-преобразования

>> syms X x r w0 n e

>> x=(cos(n)).^2;

>> X=ztrans(x)

X = z*(z^2+z-3*z*cos(1)^2+cos(1)^2)/(z^3-4*z^2*cos(1)^2+z^2+4*z*cos(1)^2-z-1)

3.  Нахождение обратного Z-преобразования для следующих выражений c помощью функции iztrans()  Matlab:

а)  ,

б)  .

а) 

% нахождение обратного z-преобразования

>> syms z x X

>> X=(z*(z+1))/((z-1)^3);

>> x=iztrans(X)

x = n^2

б) 

% нахождение обратного z-преобразования

syms z x X

>> X=((z^2)-0.2*z-0.8)/((z^2)-0.3*z-0.1);

>> x=iztrans(X)

x = 8*charfcn[0](n)-13/7*(1/2)^n-36/7*(-1/5)^n

4.  Разложение функции (индивидуальное задание) на простые дроби с помощью функции residuez() и нахождение для нее обратного Z – преобразование аналитически и методами Matlab.

% разложение функции на простые дроби

>> num=[-0.8,-1,1.8];

>> den=[0.05,0.05,-0.8,1];

>> [r,p,k]=residuez(num, den)

r =

  -5.3878         

  -5.7551 - 0.0000i

  -4.8571 + 0.0000i

p =

  -5.0000         

   2.0000 + 0.0000i

   2.0000 - 0.0000i

k =    -16

Полученному результату отвечает разложение на простые дроби вида

Откуда получаем исходный сигнал :

Сравним его с результатом выполнения функции iztrans():

>>syms x X z

>>X=((1.8*z^2)-z-0.8)/(((z^2)-z+0.25)*(z+0.2))

>>x=iztrans(X)

x = -(282*(2)^n)/49 - (264*(-5)^n)/49 - 16* charfcn[0](n) - (34*(2)^n)/7

5.  Решение с помощью Z – преобразования линейного разностного уравнения с постоянными коэффициентами (индивидуальное задание)

; ;

Полюса:

Т.к.  и по свойству запаздывания Z-преобразования получаем

Проверка:

6.  ДВПФ и его связь с Z-преобразованием

Прямое ДВПФ имеет вид , где  - непрерывная функция от ω, а x[n] – дискретный по времени сигнал. По сути это выражение представляет собой ряд Фурье по переменной ω. Коэффициенты ряда Фурье имеют вид . Это выражение для коэффициентов ряда представляет собой выражение обратного ДВПФ.

ДВПФ – это частный случай Z – преобразования (если на единичной окружности , то Z – преобразование представляет собой ДВПФ).

Аналитически вычислим ДВПФ сигнала

.

Аналитически вычислим z-преобразование сигнала

7.  Вычисление ДВПФ с помощью файл-функции

function [X,w] = DTFT(x,M)

% Функция вычисляет значения DTFT от вектора x.

% Обращение

%             [X,w] = DTFT(x,0)

% здесь X - вектор значений DTFT,

% w - вектор угловых частот.

% Если желательно вычислить DTFT с M значениями частоты,

% используется обращение

%             [X,w] = DTFT(x,M)

%

% Этот вариант используется, когда размер вектора x 

% меньше  размера вектора частот w,

% при этом x дополняется нулевыми значениями

N = max(M,length(x));

% Приведение FFT к размеру 2^m

N = 2^(ceil(log(N)/log(2)))

% Вычисление  fft

X = fft(x,N);

% Вектор  частот

w = 2*pi*( (0:(N-1))/N );

w = w - 2*pi*(w>=pi)

% Сдвиг FFT к интервалу от -pi до +pi

X = fftshift(X);

w = fftshift(w);

Найдем с помощью этой файл-функции  ДВПФ сигналов
а)     x[n] = e ^-0,5n,
б)    

в)       

для значения  M = 64.

а)  x[n] = e ^-0,5n

>> n=0:1:5;

>> x=exp(-0.5*n);

>> t1=0:1:5;

>> stem(t1,x);

>> [X,w]=DTFT(x,64);

>> t=-31:1:32;

>> stem(t,abs(X))

>> figure(2)

>> stem(t,angle(X))

Рис. 1. График сигнала x[n] = e ^-0,5n

Рис. 2. Амплитудный спектр сигнала x[n] = e ^-0,5n

Рис. 3. Фазовый спектр сигнала x[n] = e ^-0,5n

б)

>> n=1:9;

>> x(n)=1;

>> t1=1:9;

>> stem(t1,x(n));

>> [X,w]=DTFT(x,64);

>> figure(1);

>> subplot(2,1,1)

>> stem(t,abs(X))

>> subplot(2,1,2)

>> stem(t,angle(X))

Рис. 4  График сигнала 

Рис. 5  Амплитудный и фазовый спектры сигнала 

в)   

>> n=0:1:10;

>> x=(1/2).^n.*cos((pi/3).*n);

>> t1=0:1:10;

>> stem(t1,x);

>> [X,W]=DTFT(x,64);

>> subplot(2,1,1);

>> stem(t,abs(X));

>> subplot(2,1,2);

>> stem(t,angle(X));

Рис. 6.  График сигнала

Рис. 7  Амплитудный и фазовый спектры сигнала

8.  Свойства ДВПФ.

Для начала зададим и построим исходные сигналы и графики ДВПФ исходных сигналов:

N = 128; %  Длина сигналов

k = 0:N-1;

gamma = -0.1;

g = exp(gamma*k);

% g - экспоненциальная функция

h = sin(2*pi*k/(N/4));

figure(1)

subplot(211),stem(k,g)

legend('exp(gamma*k)')

subplot(212),stem(k,h)

legend('sin(2*pi*k/(N/4))')

% h - синусоидальная последовательность с периодом = N/4

% вычисление ДВПФ

[G,w] = DTFT(g,512);

[H,w] = DTFT(h,512);

figure(2)

subplot(211), plot(w,abs(G))

subplot(212), plot(w,abs(H))

legend('w=2*pi/32=0,2')

Рис. 8. Графики исходных сигналов

Рис. 9 Графики ДВПФ исходных сигналов

·  Свойство линейности

% Свойство линейности

alpha = 0.5;

beta = 0.25;

y = alpha*g+beta*h;

[Y,w] = DTFT(y,512);

% Графики Y и  alpha*G+beta*H для проверки их равенства

figure(3), subplot(211),plot(w,abs(Y))

subplot(212), plot(w,abs(alpha*G+beta*H))

%input(' Для продолжения нажмите любую клавишу')

Рис. 10. Графики ДВПФ от суммы двух сигналов и суммы ДВПФ сигналов

Так как графики одинаковые, то это доказывает свойство линейности.

·  Свойство временного сдвига

% Свойство временного сдвига

n0 = 12;

% y2 - последовательность y, сдвинутая на 12 отсчетов

y2 = [zeros([1,n0]) g];

[Y2,w] = DTFT(y2,512);

G0 = exp(-j*w*n0).*G;

% Графики амплитудных спектров

figure(4), subplot(211), plot(w,abs(G0))

subplot(212), plot(w,abs(Y2));

Рис. 11 иллюстрация свойства временного сдвига

Данные графики показывают, что временному сдвигу соответствует умножение ДВПФ на экспоненту в степени -jwn0, где n0 – временной сдвиг.

·  Свойство изменения масштаба

% Свойство изменения масштаба

a=0.1;  % Коэффициент изменения масштаба

g1= exp(gamma*k*a);

figure(4),plot(k,g,k,g1) % Графики во временной области

legend('g','g1')

[G,w] = DTFT(g,512);

G1 = DTFT(g1,512);

% Графики спектров

figure(5), subplot(211), plot(w,abs(G))

subplot(212), plot(w,abs(G1))

Рис. 12. Графики исходной экспоненты и масштабированной с коэффициентом 0.1

Рис. 13. ДВПФ обоих экспонент

·  Свойство свертки

% Свойство свертки

y5 = conv(g,h);

[Y5,w] = DTFT(y5,512);

figure(6), subplot(211), plot(w,abs(Y5))

subplot(212), plot(w,abs(G.*H))

Рис. 14. Иллюстрация свойства свертки

Как видно из графиков свертке во временной области соответствует перемножение ДВПФ сигналов, участвующих в свертке.

·  Теорема Парсеваля

% Теорема Парсеваля

val1 = sum(g.*g);

val2 = sum(G.*conj(G))/512;

% Сравнение val1 с  val2

disp('Разность   val1-val2 = ')

disp(val1-val2)

Разность   val1-val2 =  0

Так как разность нулевая, это означает что энергию сигнала можно вычислить перемножением ДВПФ сигнала на его комплексно-сопряженное.