Равновесие тела при наличие трения сцепление и трение скольжения

Лекция 11

6. РАВНОВЕСИЕ   ТЕЛА   ПРИ  НАЛИЧИЕ   ТРЕНИЯ

СЦЕПЛЕНИЕ   И   ТРЕНИЕ   СКОЛЬЖЕНИЯ

При стремлении сдвинуть тяжелое тело по поверхности другого тела под действием горизонтальной силы  в плоскости их соприкосновения возникает сила сцепления  (сила трения покоя), препятствующая движению тел друг относительно друга (рис. 6.1). Возникновение трения обусловлено, прежде всего, шероховатостью поверхностей, создающей сопротивление перемещению, и наличием сцепления у прижатых друг к другу тел.

Рис. 6.1

Приложенная к телу сила сцепления  направлена в сторону, противоположную той, куда действующие на тело силы стремятся его сдвинуть. Причем в положении равновесия

.                                                     (6.1)

Тело останется в покое при увеличении силы  от нуля до некоторого максимального значения , при котором тело еще не движется. При этом согласно (6.1) сила трения покоя будет принимать значения от нуля до максимального значения , называемого предельной силой трения, т.е.

                                                 (6.2)

Экспериментально было установлено, что предельная сила трения  численно равна произведению коэффициента сцепления (статического коэффициента трения) на величину нормального давления, или нормальную реакцию поверхности:

.                                                 (6.3)

Коэффициент сцепления  - величина безразмерная, зависящая от материала соприкасающихся тел, состояний поверхностей контакта, температуры, влажности и т.п. Значение коэффициента сцепления  определяется опытным путем и для используемых в технике материалов его величина, как правило, меньше единицы (например, = : 0,4 - 0,7 для пары дерево по дереву; 0,15 - 0,25 для пары метал по металлу; 0,027 для пары сталь по льду. Значение предельной силы трения  не зависит от размеров соприкасающихся при трении тел.

Равновесие, при котором сила сцепления достигает максимального значения , называется состоянием предельного равновесия, при котором величина сдвигающей силы .

При дальнейшем увеличении модуля силы  тело начнет двигаться (скользить) по поверхности. При скольжении тела по шероховатой поверхности к нему приложена сила трения скольжения  (рис. 6.2).

Рис. 6.2

Направление этой силы противоположно направлению скорости  тела, модуль силы трения скольжения определяется произведением коэффициента трения на величину нормальной реакции:

.                                                   (6.4)

Здесь  - коэффициент трения скольжения также является величиной безразмерной, определяемой опытным путем. Значение коэффициента  зависит от материала и физического состояния трущихся поверхностей, удельного давления, а также в некоторой степени от скорости движения одного тела по отношению к другому. Обычно с увеличением относительной скорости взаимодействующих тел коэффициент  сначала убывает от значения , а затем сохраняет постоянной значение, т.е. .

а)                                     б)                                    в)

Рис. 6.3

Реакция шероховатой поверхности имеет две составляющие: нормальную реакцию  и перпендикулярную ей силу сцепления  при равновесии (рис. 6.3а) (или силу трения скольжения при движении (рис.6.3в)). Поэтому реакция  будет всегда отклонена от нормали к поверхности на некоторый угол j. Согласно (6.2) при равновесии тела угол j

может принимать значения от нуля до некоторого предельного значения j_сц (), которое соответствует положению предельного равновесия (рис.6.3б). Это максимальное значение j_сцназывается углом сцепления (углом трения покоя). На рис.6.3б видно, что

                                          (6.5)

или

                                               (6.6)

При движении тела реакция  будет всегда составлять с нормалью к поверхности угол, называемый углом трения j_тр. (рис.6.3в), причем

,                                              (6.7)

или

                                                 (6.8)

Конус с вершиной в точке касания тел, образующая которого составляет угол сцепления j_сц с нормалью к поверхностям тел, называется конусом сцепления (рис. 6.3б).

Конус с вершиной в точке касания тел, образующая которого составляет с нормалью к поверхностям тел угол трения j_тр, называется конусом трения (рис.6.3в).

Если коэффициенты  и  по всем направлениям поверхности контактирующих тел одинаковы, то соответствующие конусы сцепления и трения будут круговыми (см. рис.6.3). Если же коэффициенты  и  в различных направлениях поверхности контактирующих тел изменяются по величине, то соответствующие конусы будут иметь сложную форму.

Поверхность конуса сцепления представляет собой геометрическое место максимальных реакций  опорной плоскости. Пространство внутри конуса сцепления соответствует совокупности возможных положений реакции опорной плоскости в положении равновесия тела.

Рис. 6.4

Следовательно, тело будет находиться в равновесии, если реакция  опорной плоскости проходит внутри или лежит на поверхности конуса сцепления. Поэтому, если результирующая активных сил  (рис. 6.4) образует с нормалью к шероховатой поверхности угол a, меньший угла сцепления j_сц, то никакой сколь угодно большой силой  нельзя сдвинуть тело вдоль данной поверхности. Этим объясняются явления заклинивания и самоторможения.

ТРЕНИЕ  НИТИ  О  ЦИЛИНДРИЧЕСКУЮ  ПОВЕРХНОСТЬ

К концу А нити, накинутой на круглый цилиндрический вал радиусом R, приложена сила . Определим, какую наименьшую силу  следует приложить к другому концу В нити, чтобы сохранить ее равновесии при данном угле (), если коэффициент сцепления нити о вал равен f_сц (рис. 6.5а).

Для решения рассмотрим равновесие элемента DE нити (рис. 6.5б), длина которого . При наименьшей силе  равновесие является предельным, и разность натяжений в точках Dи E равная  уравновешивается силой , где  - величина нормальной реакции. Следовательно,

,

или

.                                               (6.9)

а)                                                                    б)

Рис. 6.5

Значение определим из уравнения равновесия в проекции на ось у:

Отсюда, полагая, что синус малого угла равен самому углу и пренебрегая малыми второго и высших порядков, находим

                 (6.10)

Подставляя (6.10) в (6.9), определяем