или для данной задачи
Отсюда
,
. (6.19)
Груз будет в покое, пока сила сцепления не будет превышать предельного
значения
, то есть
,
или с учетом (6.19)
.
Отсюда находим
.
Следовательно, наименьший вес груза 1, при котором он
останется в покое, .
Пример 6.2.
Каким должен быть вес груза 2, для того чтобы
груз 1 весом
остался в покое на наклонной
шероховатой плоскости, если коэффициент сцепления между грузом 1 и плоскостью
равен
(рис. 6.8а). Решить
задачу при следующих данных:
= 100 Н,
= 0,3 , a = 300.
Решение. Примем груз 1 за материальную точку и рассмотрим его равновесие на наклонной плоскости.
Изобразим действующий на груз 1 силы: силу тяжести , нормальную реакцию плоскости
, силу сцепления
, а также силу натяжения троса
(Т = Р2), направив
ее по тросу.
а) б) в)
Рис. 6.8
1). Рассмотрим положение равновесия груза 1, когда
сила натяжения троса достигнет максимального
значения, превышение которого приведет к скольжению груза 1 вверх по плоскости.
В этом случае сила сцепления
направлена
вниз по наклонной плоскости (рис. 6.8б).
Груз находится в равновесии под действием плоской системы сходящихся сил.
Введя декартовую систему Оху координат, запишем уравнения равновесия (2.9):
Отсюда
. (6.20)
Груз 1 останется в покое, если , тогда из (6.20) получим
или
Следовательно, наибольший вес груза 2, при котором груз 1 останется в покое, равен 76 Н.
2). Рассмотрим второе предельное положение равновесия
груза 1 на наклонной плоскости, когда сила натяжения троса достигнет наименьшего значения,
дальнейшее уменьшение которого приведет к скольжению груза 1 вниз по плоскости.
В этом случае сила сцепления
направлена
вверх по наклонной плоскости (рис. 6.8в).
Груз находится в равновесии под действием плоской системы сходящихся сил.
Введя декартовую систему координатОху, запишем уравнения равновесия (2.9) для данной задачи:
Отсюда
. (6.21)
Груз 1 останется в покое, если , тогда из (6.21) получим
или
Наименьшее значение веса груза 2, при котором груз 1 не скользит вниз по плоскости, равен 24 Н.
Следовательно, при весе груза 2 в интервале груз 1 будет находиться в покое на
наклонной плоскости.
Задачи на равновесие твердого тела, при наличии трения качения, рекомендуется решать в следующем порядке:
1) выделить тело, равновесие которых следует рассмотреть для определения искомых величин;
2) изобразить заданные силы;
3) применить принцип освобождаемости от связей: мысленно отбросить связи и заменить их действие реакциями связей; считая катящееся тело и неподвижную поверхность не деформированными, изобразить в точке касания тела с поверхностью нормальную реакцию и силу сцепления, направив её противоположно направлению возможного скольжения точки её приложения, а так же приложить момент трения качения, направленный противоположно возможному качению тела;
4) выбрать систему координат;
5) составить систему уравнений равновесия для сил,
приложенных к рассматриваемому телу, которую дополнить условием равновесия для
катящегося тела ;
7) решить систему уравнений равновесия и определить искомые величины.
Пример 6.3. При каком угле a наклона шероховатой плоскости к горизонту, тяжелый цилиндр не покатится, если коэффициент трения качения равен d, радиус цилиндра R. Образующая цилиндра перпендикуляр-
на линии наибольшего ската наклонной плоскости.
Решение. Рассмотрим равновесие цилиндра на наклонной плоскости.
Изобразим действующие на него силы: силу тяжести , нормальную реакцию плоскости
, силу сцепления
и момент трения качения
(рис. 6.9). Цилиндр находится в
равновесии под действием произвольной плоской системы сил.
Рис. 6.9
Введя декартовую систему координат Аху, запишем уравнения равновесия (5.7)
или для данной задачи
Тогда
(6.22)
Цилиндр останется в покое, пока согласно (6.17) момент трения качения не превысит предельного значения, то есть
,
или с учетом (6.22)
.
Отсюда находим
Следовательно,
при всех углах наклона плоскости , цилиндр будет
находиться в покое, а при углах
, цилиндр
покатится вниз по наклонной плоскости.
Пример 6.4.
К однородному катку весом Р приложена горизонтальная сила (рис. 6.10). Определить
наибольший модуль этой силы, при котором каток не скользит и не катится, если
коэффициент сцепления между катком и горизонтальной шероховатой плоскостью -
, а коэффициент трения качения
равен d. Решить задачу при следующих данных:
= 2 кН,
= 0,2 , d = 0,006 м, R
= 0,6 м , СА =0,4 м .
Решение.
Рассмотрим равновесие катка. На него действуют сила ,
сила тяжести
, нормальная реакция
, сила сцепления
и момент трения качения
, направленный противоположно
возможному вращению катка под действием силы
(рис.
6.10). Каток находится в равновесии под действием произвольной плоской системы
сил.
Рис. 6.10
Введя декартовую систему координат Оху (рис.6.10), запишем аналитические условия равновесия (5.7)
или для данной задачи
Отсюда находим:
(6.23)
Отсутствие скольжения и качения катка будет при одновременном выполнении двух условий:
1) скольжение катка отсутствует, если
,
или с учетом (6.23) получаем
; (6.24)
2) качение катка отсутствует, если
(6.25)
или, подставляя (6.25) в третье равнение системы (6.23), находим
. (6.26)
Сравнивая (6.24) и (6.26) приходим к заключению, что
наибольший модуль силы , при котором
каток не будет одновременно скользить и катится по горизонтальной плоскости,
равен 12 кН.
Вопросы для самопроверки
1. В каких пределах изменяется сила трения сцепления?
2. Что называется предельным состоянием равновесия тела?
3. По какой формуле вычисляется предельная сила трения?
4. Как определяется модуль и направление силы трения скольжения?
5. Какими силами образуется пара трения качения?
6. В каких пределах изменяется момент сопротивления качению?
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.