Устойчивость систем автоматического регулирования, страница 2

Такое звено является частным случаем колебательного звена при  и называется консервативным, используется для формирования гармонических сигналов, поскольку ее переходной функцией есть незатухающие автоколебания.

Рассмотренная САР (рис.7.6) называется структурно неустойчивой, поскольку невозможно добиться ее устойчивости только путем изменения ее параметров.

Пример 4. Определить условия устойчивости САР (рис.7.7) по критерию Гурвица

ПФ замкнутой САР

.

Характеристический полином:

.

Условие устойчивости        , , , ,

.

Частный случай: Если , то из последнего условия устойчивости следует, что система будет устойчива при , независимо от величин постоянных времени. При  САР будет находиться на границе устойчивости. При большем значении коэффициента () САР будет неустойчива.

Для того, чтобы повысить коэффициент усиления разомкнутой системы, сохраняя устойчивость САР, следует постоянные времени раздвинуть в значениях. Иначе говоря, граничный коэффициент усиления  больше зависит от соотношения постоянных времени, нежели от их величины.

Например, , , . Из последнего условия устойчивости можно получить, что .

Частотные критерии устойчивости

Позволяют судить об устойчивости САР по виду ее ЧХ. Наиболее распространенные – критерии Михайлова, Найквиста. Более изящным является критерий Найквиста, который используется для исследования устойчивости замкнутых САР, судя о ней по виду известной ЧХ разомкнутой системы.

Все частотные критерии устойчивости базируются на принципе аргумента.

Принцип аргумента

Рассмотрим полином с действительными коэффициентами

          ,

имеющий n нулей, среди которых m являются правыми (имеют положительную вещественную часть), а остальные n–m – левыми.

Теорема. Приращение аргумента вектора  при изменении частоты w от –¥ до +¥ равно разности между числом левых и правых нулей полинома , умноженной на p. т.е.

          ,

где  – общее число нулей (равное порядку полинома );   – число правых нулей.

Доказательство. Разложим полином  на множители:

           

и выполним подстановку :

                        .

Модуль этого вектора равен:

            ,

а аргумент –

                        .           (*)

Каждый из элементарных векторов  может быть изображен на комплексной плоскости в виде стрелки, выходящей из точки  и приходящей в точку . Пусть  – левый нуль полинома , а  – правый. Их изображение на комплексной плоскости показано на рис.7.8.

Положительным направлением вращения есть вращение против часовой стрелки.

Из рис.7.8 видно, что изменяя w  от –¥ до +¥, точка  будет перемещаться вверх по мнимой оси, а аргумент вектора , соответствующего левому нулю, изменится от –p/2 до +p/2, т.е. на +p. Аналогично, аргумент вектора , соответствующего правому нулю, изменится от 3p/2 до p/2, т.е. на –p.

Таким образом, учитывая количество левых и правых нулей, из (*) получим:

          .

Теорема доказана.

Следствие. Обычно рассматривают только положительные частоты, т.е. w изменяется от 0 до +¥. В этом случае приращение аргумента будет вдвое меньше и равно

          .

Доказательство выполняется отдельно для действительных и комплексных нулей с учетом того, что последние в общем случае образуют комплексно-сопряженные пары.

Предварительные физические соображения

Считаем, что САР (рис.7.9) в разомкнутом состоянии устойчива (связь, проведенная пунктиром, отсутствует).

Частотная характеристика разомкнутой САР представлена на рис.7.10 (кривая 1).

Назовем частоту, при которой фазовый сдвиг равен , граничной (w_гр).

Изменим параметры САР таким образом, чтобы частотная характеристика разомкнутой системы прошла через точку с координатами (–1; j0). В этом случае коэффициент передачи при  равен 1 (вне зависимости от амплитуды гармонического сигнала, т.е. вне зависимости от наличия или отсутствия обратной связи). Система не почувствует, если входной сигнал исчезнет, и в ней установятся незатухающие колебания. Говорят, что в этом случае система находится на границе устойчивости.

Если бы частотная характеристика разомкнутой САР не охватывала точку (–1; j0), как в случае 1 (рис.7.10), то коэффициент передачи при  был бы меньше единицы, и колебания с течением времени затухли бы, т.е. САР в замкнутом состоянии была бы устойчивой.

В случае же, когда частотная характеристика разомкнутой САР охватывает точку (–1; j0), как в случае 2 (рис.7.10), коэффициент передачи при  больше единицы, имели бы место расходящиеся колебания (с увеличивающейся амплитудой), т.е. САР была бы неустойчивой.

На основании физических соображений можно сделать вывод: Устойчивая в разомкнутом состоянии САР будет устойчива и в замкнутом состоянии, если частотная характеристика разомкнутой системы не охватывает точку с координатами (–1; j0).

Критерий устойчивости Найквиста (Nyqvist, 1932)

Пусть система в разомкнутом состоянии является неустойчивой. Обозначим:

 – ПФ разомкнутой САР;

m – порядок неустойчивости разомкнутой САР, равный числу полюсов ПФ разомкнутой САР, находящихся в правой полуплоскости (если , то САР в разомкнутом состоянии устойчива).

Введем вспомогательную функцию:

            ,

где  – характеристический полином разомкнутой САР;

       – характеристический полином замкнутой САР.

Подставим :

            .

Пусть характеристическое уравнение замкнутой САР  имеет l правых корней. Тогда на основании принципа аргумента изменение угла поворота вектора  при изменении частоты от 0 до +¥ будет равно:

           

                        .

Для устойчивости замкнутой САР необходимо и достаточно, чтобы все нули ее характеристического полинома были левыми, т.е. l=0. Тогда

            .

Таким образом, если разомкнутая САР неустойчива и имеет m правых корней, то замкнутая САР будет устойчива тогда и только тогда, когда годограф вспомогательной функции  при изменении частоты w от нуля до +¥ охватывает начало координат в положительном направлении m/2 раз.

Легко заметить, что число оборотов вектора  вокруг начала координат равно числу оборотов вектора  вокруг точки с координатами (–1; j0). Отсюда и вытекает общая формулировка критерия Найквиста.

Общая формулировка критерия. Для устойчивости замкнутой САР необходимо и достаточно, чтобы частотная характеристика разомкнутой САР с порядком неустойчивости m при изменении частоты w от нуля до + охватывала точку с координатами (–1; j0) в положительном направлении (при возрастании частоты)  раз.

При сложной форме частотной характеристики  бывает затруднительно определять число оборотов годографа вокруг критической точки (–1; j0). В этом случае удобно применять "правило переходов".