Синтез оптимального по быстродействию управления, теорема об n-интервалах

Лекция №16

СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ УПРАВЛЕНИЯ. ТЕОРЕМА ОБ NИНТЕРВАЛАХ

Для получения предельного быстродействия (минимума времени переходного процесса) необходимо проектировать автоматические системы с учетом ограничений, наложенных на ее координаты, из условия минимума критерия качества (1.3). Системы управления называют оптимальными по быстродействию, если они обеспечивают минимум времени переходного процесса с учетом ограничений, наложенных на координаты управлений и выхода. Эти системы являются частным случаем оптимальных систем.

Пусть известна математическая модель объекта управления, на­пример, в виде уравнений состояния типа

,                                (5.10)

где А – матрица размерности (); В – матрица размерности () при rкоординатах управления.

Требуется определить допустимые управления u°(t) при наличии ограничений , переводящие объект из заданного на­чального X(t₀) в заданное конечное состояние X(Т), из условия ми­нимума функционала

                                 (5.11)

При этом координаты вектора состояния X могут быть также ограничены: .

При решении задачи синтеза рассматривается оптимальное по быстродействию управление объектом либо без непосредственного использования координат вектора состояния X (разомкнутая система), либо с использованием координат вектора состояния X (замкнутая система). В связи с этим рассматриваемые системы делят на два основных типа: а) оптимальные по быстродействию разомкнутые системы; б) оптимальные по быстродействию замкнутые системы. Оба типа систем могут быть как одномерными, так и многомерными.

Синтез оптимальных по быстродействию систем производят методами теории оптимального управления. При этом основным методом является принцип максимума Понтрягина (см. гл. 3).

При решении задачи синтеза составляют функцию Гамильтона вида (3.135) и на основании условия (3.136) находят закон управления (3.137).

Запишем основные выражения, необходимые при решении задачи синтеза по принципу максимума (см. §3.6).: функция Гамильтона

;                                                                            (5.12)

уравнение вектора вспомогательных переменных

;                           (5.13)

условие максимума функции Гамильтона

; ,                       (5.14)

на основании которого находится закон оптимальных управлений при  [cм.(3.137)]:

,                                             (5.15)

где I – единичная матрица;

.                                (5-16)

Таким образом, уравнения (5.10), (5.13) и управления (5.15) составляют систему 2п + rуравнений вариационной задачи синтеза оптимальных по быстродействию управлений с 2п + rнеизвестными. Все эти неизвестные могут быть определены, если известны начальные условия x_i(t₀) и y_i(t). Сложность задачи состоит в том, что известны только начальные значения координат состояния объекта x_i(t₀) и неизвестны начальные значения y_i(t). Так как нет аналитических способов определения y_i(t₀) в явном виде, то для их нахождения используют метод последовательных приближений (метод итераций) от не­которого исходного набора значений –начальное приближение – к окончательной совокупности , соответствующей решению оптимальной задачи. Один из способов такого решения состоит в следующем [12]. Взяв произвольно значения , найдем соответствующие им управления и траектории . Если полученные  совпадают с заданными конечными значениями при  т. е. вектор состояния Х°(Т) равен заданному вектору конечного состояния X (Т), то начальные значения  выбраны правильно и задача решена. В том случае, когда траектории не проходят через заданные ко­нечные значения х_i(Т), необходимо выбрать другие значения  и повторить решение задачи.

Однако при оптимизации некоторых объектов решение задачи синтеза может быть проще указанного, так как в ряде случаев не требуется определять полностью вспомогательные функции , а достаточно только знать моменты изменения знака Н_и, в результате чего на основании (5.15) и (5.16) может быть составлен закон релейного управления:

                                 (5.17)

В связи с этим, применяя принцип максимума, рассмотрим теорему «об п интервалах». Пусть математическая модель одномерного объекта задана уравнениями состояния

.                                   (5.18)

Составим функцию Гамильтона для неклассической вариационной задачи оптимального по быстродействию управления

(5-19)

Так как от управления и(t) зависит только последнее слагаемое, то в соответствии с (5.14) функция Гамильтона имеет максимум, когда

откуда следует закон оптимального по быстродействию управления (5.15)

и° (t) = 1 × sign [y_n­(t)].                                   (5.20)

При этом функция и°(t) принимает два значения:

                                     (5.21)

и меняет знак столько раз, сколько кривая  пересекает ось времени.

Для нахождения вспомогательной переменной составим сопряженные уравнения Гамильтона:

                                 (5.22)

Приведем систему уравнений (5.22) к одному уравнению. Для этого вычтем из первого уравнения системы (5.22) все остальные, продифференцировав предварительно второе уравнение один раз и умножив на (–1)¹, третье – два раза и умножив на (–1)² и т. д. до последнего, которое дифференцируем (п – 1) раз и умножаем на (–1)^(n-1). В результате этого после группирования получим

           (5.23)

Предполагаем, что собственные числа матрицы А в (5.18) являются различными вещественными, тогда корни уравнения (5.23) также будут вещественными различными числами p_iВ этом случае

                                          (5.24)

Функция , определяемая суммой экспонент с вещественными показателями степени, изменит знак не более (п – 1) раз, поэтому управление (5.20) имеет не более п интервалов постоянных значений . Таким образом, доказана теорема «об п интервалах»: Если объект управления описывается линейным дифференциальным уравнением п-го порядка с постоянными коэффициентами и корни его характеристического уравнения различные, отрицательные или нулевые, то для оптимального по быстродействию управления необходимо и достаточно не более п интервалов максимального значения управления |и| = U_max, а знаки на интервалах должны чередоваться (п – 1) раз.