Построение фазового портрета системы автоматического управления методом припасовывания

Задание 2

Анализ нелинейной системы

По заданной структурной схеме системы автоматического управления построить ее фазовый портрет методом припасовывания. По фазовому портрету выполнить анализ системы автоматического управления и определить ее устойчивость.

Дано:

T₀=16.2                 aw_ср=0.5

K₀=900                  U_max=1,1

K₁=0.84                 b=aw_ср/K₁

K₂=10.3                 w₀=(dφ/dt)=K₂K₃U_max

K₃=0.004

1.  Упростим схему

В заданной стуктурной схеме проведем преобразования с целью разделения в два звена линейную и нелинейную части данной системы.

 

где W(p) – эквивалентная передаточная функция всех линейных звеньев системы.

       F(Q₁-Q₂) – эквивалентная статическая характеристика всех нелинейных элементов.

      ;

      .

Промежуточные значения: b=0.6; w₀=0.0453

2.  Решение системы методом припасовывания

По определению W(p)=Q₂/Q₃ , следовательно

W(p)·Q₃=Q₂;

Q₃=F(Q₁-Q₂);

Q₂=W(p)·F(Q₁-Q₂).

Зная линейную часть преобразуем уравнения:

          , где K=К₀К₁К₂К₃

          .

          Будем считать входное воздействие Q₁ системы постоянным, тогда перейдем от величины Q₂ к ее приращению относительно постоянного воздействия Q₁.

          Обозначим Q₂-Q₁=x

          px=pQ₂-pQ₁;

          px=pQ_2.

          С учетом замечаний для приращений получим:

         

          Решение данного уравнения будет строиться исходя из заданной нелинейности. В данной работе нелинейной частью системы является трехпозиционное реле (статическая характеристика дана ранее).

          В соответствии с системой запишем уравнение, с учетом того, что функция является нечетной, т.е. симметрична относительно начала координат.

          Пусть px=V, тогда система приобретет вид:

Найдем решение каждого из уравнений системы по очереди:

А)

Т.к. изначально система выведена в точку фазовой плоскости М₀ с координатами (x₀,V₀) , то интегрирование будет: от x₀ до x ; от V₀ до V.

В)

Решение аналогично.

Б)

   -   отрезок прямой для интервала

Все уравнения получены. Построим фазовый портрет.

Пусть первая точка будет M₀(-0,6;-0,15). Тогда первое уравнение будет:

 для х<-0.6

Вторая точка будет М₁(-0,6;0,14), тогда второе уравнение будет:

 для –0.6≤x≤0.6

Третья точка будет М₂(0,6;0,07), тогда третье уравнение будет:

для x>0.6

Четвертая точка будет М₃(0,6;-0,06), тогда четвертое уравнение будет:

Последнее уравнение пересекает ось абсцисс в интервале (-0,6;0,6) в точке М₄(-0,42;0), следовательно все уравнения для фазового портрета найдены и с этого момента система блуждает с нулевой скоростью и неопределенностью по координате от -0,6 до +0,6, это состояние эквивалентно состоянию устойчивости.

По фазовому портрету можно сделать следующие выводы: анализируемая нелинейная система устойчива и по характеру процесса в системе – переходный процесс быстро затухает.

По заданной структурной схеме составим принципиальную схему системы автоматического регулирования температуры:

где     ЧЭ – чувствительный элемент (датчик или первичный преобразователь температуры);

          РП – реле поляризованное;

          ОВ – обмотка возбуждения;

          Р – редуктор;

          РО – регулирующий орган (заслонка);

          ОР – объект регулирования;

          Д – двигатель постоянного тока.

Объект регулирования – апериодическое звено первого порядка с постоянной времени T₀=16,2с, коэффициент передачи объекта и регулирующего органа К₀=900^оС/рад, коэффициент передачи чувствительного элемента К₁=0,84а-в/^оС, коэффициент передачи двигателя К₂=10,3рад/(В·с), передаточное отношение редуктора i=250. Статическая характеристика поляризованного реле была приведена ранее. Максимальное напряжение на выходе реле 1,1В.