Построение фазовый портрет системы автоматического управления методом припасовывания

Анализ нелинейной системы

По заданной структурной схеме системы автоматического управления построить её фазовый портрет методом припасовывания. По фазовому портрету выполнить анализ системы автоматического управления и определить её устойчивость.

Q2

Q

Q1

K3

F(aw)

K1

ЗАДАНИЕ:

 

T₀=16               a_wср=0.5

w0

Q

-b

K₀=7.3             U_max=110

b

K₁=0.98            b=a_wср /K₁

K₂=3.9            

K₃=0.008

РЕШЕНИЕ:

1.Преобразование структурной схемы:

Выделим в заданной стуктурной схеме линейную и нелинейную части данной системы:

 

где – эквивалентная передаточная функция всех линейных звеньев системы.

 F(Q₁-Q₂) – эквивалентная статическая характеристика всех нелинейных элементов.

2.Решение системы методом припасовывания

По определению W(p)= Q₂/Q₃ , следовательно

W(p)· Q₃ = Q₂;

Q₃ = F(Q₁-Q₂);

Q₂ = W(p)·F(Q₁-Q₂).

преобразуем уравнения учитывая линейную часть:

        , где K=К₀К₁К₂К₃

        .                                                     (1)

    Будем считать входное воздействие Q₁ системы постоянным(Q₁=const). Тогда в уравнении (1) перейдем от величины Q₂ к её приращению относительно постоянного воздействия Q₁:

   Введём обозначение: Q₂ - Q₁ = x, тогда

        px = pQ₂ - pQ₁;

       px = pQ_2.

В результате уравнение (1) примет вид:

                                                                     (2)

   Нелинейная часть системы является трехпозиционным реле, статическая характеристика которого приведена выше. Решение данного уравнения будет строиться исходя из заданной нелинейности:

                                                                 (3)

    В соответствии с системой (3) и учетом того, что функция является нечетной, т.е. симметрична относительно начала координат, уравнение (2) разбивается на систему из трёх уравнений:

                                                                      (4)

   Заменим px=V, тогда система (4) приобретет вид:

                                                                           (5)

Найдем решение каждого из уравнений системы:

1) .

Т.к. изначально система выведена в точку фазовой плоскости М₀ с координатами (x₀,V₀) , то интегрирование будет: от x₀ до x ; от V₀ до V.

Решив интеграл получим:

2)

   -   отрезок прямой для интервала

  3)

  Решение аналогично первому уравнению:

3.Построение фазового портрета

  Построим фазовый портрет по полученным решениям уравнений системы (5):

Пусть первая точка будет M₀(1;0,5). Первое уравнение имеет вид:

 для x > 0.51

Вторая точка будет М₁(0,51; -0,37655). Второе уравнение имеет вид:

 для x > 0.51

Третья точка будет М₂(-0,51;-0,31181). Третье уравнение имеет вид:

 для –0.51 ≤ x ≤ 0.51

Четвертая точка будет М₃(-0,51;0,24495), тогда четвертое уравнение имеет вид:

 для х < -0.51

Пятая  точка будет M₄(0,51;0,18135). Пятое уравнение имеет вид:

 для –0.51 ≤ x ≤ 0.51

Шестая точка будет М₅(0,51;-0,14653). Шестое уравнение имеет вид:

 для x > 0.51

Седьмая  точка будет M₆(-0,51;-0,082306). Седьмое уравнение имеет вид:

 для –0.51 ≤ x ≤ 0.51

Восьмая точка будет М₇(-0,51;0,0767), тогда восьмое уравнение имеет вид:

 для х < -0.51

Девятая точка будет М₈(0,51;0,013), девятое уравнение имеет вид:

 для –0.51 ≤ x ≤ 0.51

Десятая точка будет М₉(0,51;-0,0122), десятое уравнение имеет вид:

 для x > 0.51

Последнее уравнение пересекает ось абсцисс в интервале (-0,51;0,51) в точке М₁₀(0,31592;0), следовательно, все уравнения для фазового портрета найдены. Это означает что, с этого момента система блуждает с нулевой скоростью и неопределенностью по координате от -0,51 до +0,51, это состояние характерно состоянию устойчивости.

По фазовому портрету, приведённому на рис.1 Приложения 2, можно сделать следующие выводы: анализируемая нелинейная система устойчива, характер переходного процесса в системе –  затухающий.

По заданной структурной схеме составим принципиальную схему системы автоматического регулирования температуры: