Построение математической модели изгиба прямоугольной мембраны на основе теории распределенных сигналов, страница 3

2.2  Графические формы математической модели гидросистемы

На основании исходной принципиальной схемы гидравлической системы (рисунок 2.1) строится динамическая модель. Участки магистралей представляются как последовательное соединение инерционного и диссипативного элемента, причем для инерционного элемента указывается направление движения рабочей жидкости. В точки ветвления магистралей устанавливают упругие элементы, учитывающие сжимаемость жидкости и деформируемость стенок трубопровода. На рисунке 2.2 представлена полученная динамическая модель.

На основании динамической модели построен ориентированный граф, являющийся графической формой модели гидравлической системы. Узлы орграфа соответствуют сосредоточенным массам, а ветви - компонентам математической модели.

Базовый узел (с нулевым номером) отображает инерциальную систему отсчета фазовых координат типа потока. Источник обеспечивает возрастание потоковой переменной узла, поэтому сигналы направляют от базы к узлу. В магистралях потребителей – наоборот.

Рисунок 2.2 –Динамическая модель гидравлической системы

Во всех ветвях инерционных и диссепативных элементов направление сигналов от узла к базе. Такое направление характеризует затраты энергии источников на увеличение кинетической энергии и на трение. В ветвях упругих компонентов стрелки указывают направление передачи энергии от источников к потребителям. В ветвях всех элементов кроме направления записывается параметр каждого элемента. На рисунке 2.3 представлен полученный орграф.

2.3 Матричная форма математической модели

Для формирования полной математической модели на основе компонентных и топологических уравнений широкое применение получил узловой метод, для него необходимо сформировать матрицу инциденций, отражающую структуру связей всех элементов графа. Число строк матрицы соответствует числу узлов орграфа, число столбцов – числу ветвей. Отсутствие связи между узлом и ветвью обозначается «0», если ветвь входит в узел – «1», если выходит – «-1».

Рисунок 2.3 – Ориентированный граф гидравлической системы

Матрицу инциденций А можно представить состоящей из подматриц инерционных А_И, диссипативных А_Д, упругих А_У ветвей и подматрицы ветвей источников потенциалов А_В. Для исходной системы полечена матрица, представленная в таблице 2.3:

А=[ А_И, А_Д, А_У, А_В]

Таблица 2.3 – Матрица инциденций гидравлической системы

Узлы	Ветви
	Диссипативные узлы					Упругие	Внешнее воздествие
	μ1	μ2	μ3	μ4	μ5	С1	Pв1	Pв2	Pв3		Pн1	Pн2
1	-1	0	0	0	0	1	-1	0	0	0	0	0
2	0	-1	0	0	0	1	0	-1	0	0	0	0
3	0	0	-1	0	0	1	0	0	-1	0	0	0
4	0	0	0	-1	0	-1	0	0	0	0	0	1
5	0	0	0	0	-1	-1	0	0	0	0	1	0
	Ав					Ау	Ад

2.4 Узловой метод формирования математической модели

Из матрицы инциденций можно получить систему уравнений математически описывающие функционирование гидравлической системы:

                                                                 (2.1)

                                                                                                (2.2)

                                                                                                  (2.3)

где А_Д, А_У, А_В – подматрицы инциденций;

– векторы давлений;

– векторы расходов;

m, c,μ– диагональные матрицы параметров элементов гидравлической системы.

На основании матрицы инциденций запишем подматрицы упругих А_У,  диссипативных А_Д элементов и подматрицу источников потенциалов А_В:

Матрицы параметров инерционных, упругих и диссипативных элементов гидравлической системы соответственно:

.

Матрица потенциалов источников Р_в, упругих  Р_у и диссипативных

Р_д, элементов и матрица фазовых переменных типа потока Q:

.

Для нашего случая система будет иметь вид:

                                                                                                   (2.4)

                                                                                       (2.5)

2.5 Расчет парметров трубопровода гидросистемы

Значения коэффициентов линейных и нелинейных потерь для конкретной магистрали находят по формулам:

- площадь сечения трубопровода, м²:

                                                                                                       (2.6)

-объём трубопровода,  м³:

                                                                                                 (2.7)

-доля объёма трубопровода

                                                                                              (2.8)

-коэффициент массы,  кг/м⁴:

                                                                                                   (2.9)  

-коэффициент линейных потерь,  Н·с/м⁵:

                                                                                               (2.10)

-коэффициент нелинейных потерь, Н·с/м⁵:

                                                                             (2.11)

-коэффициент жёсткости участка, Н/м⁵:

                                                                                    (2.12)