Построение логарифмических частотных характеристик

2 ПОСТРОЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

2.1 Построение ЛАЧХ нескорректированной исходной системы

Определим значение коэффициента добротности системы  и сопоставим его со значением  из условия:

,

Так как значение коэффициента добротности менее значения заданного по условию, т.е.:

,

то в заданную систему необходимо ввести дополнительный элемент, которым выступает усилитель и включить его в схему последовательно рисунок 2.

 

Рисунок 2 - функциональная схема САУ с дополнительным блоком

Соответственно коэффициент усиления данного блока должен быть равен:

.

Исходя из полученной функциональной схемы передаточная функция разомкнутой системы будет представлена виде:

,

где .

Определяем частоты сопряжения:

;

.

Запишем в общем виде амплитудно-фазочастотную характеристику передаточной функции:

.

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика:

.

Логарифмическая фазовая частотная характеристика:

.

Подставим в формулы значения коэффициентов, получим следующие значения логарифмических характеристик:

,

.

По полученным выражениям строим ЛАЧХ и ЛФЧХ исходной нескорректированной системы (Приложение А).

2.2 Построение ЛАЧХ желаемой системы

При построении желаемой ЛАЧХ всю область  частот разбивают на три области: НЧ (низких частот),  СЧ (средних частот) и ВЧ (высоких частот).

Вид ЛАЧХ в СЧ области определяет динамику системы. Частота среза w_ср определяется следующим образом:

w_ср»(0,6-0,9)w_п,

где w_п определяется следующим образом. Из рисунка 3 определяем величину P_max и производим следующие вычисления:

Р_мin= 1 - Р_мах,

.

 

Рисунок 3 – Номограмма для определения P_max и t_p

Принимаем значение Р_max = 1,3, тогда

Р_мin= 1 – 1,3 = -0,3,

,

,

где  - из условия.

Так как условие выполняется, то произвожу дальнейшие вычисления, а именно определяю величину w_п. Из рисунка 3 видно, что при величине Р_max = 1,3, формула для вычисления данной величины будет иметь вид:

,

где t_p = 1,4 – из условия.

с^-1.

 

В итоге определяю частоту среза w_ср:

с^-1.

По графикам, приведенным на рисунке 4 найдем запасы устойчивости по фазе и амплитуде.

Рисунок 4 – Определение запасов амплитуд и фаз

L₁ = 13,8                          L₂ = -12,8                                 Δφ = 40⁰

Участок средней частоты будет лежать в пределах запаса по амплитуде с наклоном в 20дБ/дек вправо и влево от частоты среза w_ср.

Соединение участка средних частот с низкой частотой желаемой ЛАЧХ будет осуществляться исходя из следующих соображений. Поскольку участок низкой частоты ЛАЧХ строится с учетом коэффициента передачи разомкнутой системы и по этому определяет ошибку системы в статическом режиме, то низкочастотный участок желаемой ЛАЧХ принимаем низкочастотную асимптоту ЛАЧХ некорректированной системы с нужным коэффициентом усиления. При этом будет получена заданная точность в статическом режиме, область низких частот определяет точность отображения входного сигнала. Соединение проводим таким образом, чтобы в интервале частот от w_L1 до w_ср, где значение ординаты находятся между L₁ и 0 (L₁ ≥ L_ж(w),L_ж(w) ≥ 0), запас стойкости по фазе (излишек фазы) Δφ(w) был не меньше, чем запас стойкости Δφ, найденный из условий обеспечений заданного значения перерегулирования, т.е. чтобы выполнялось неравенство Δφ(w) ≥ Δφ. Частота соединения w_с2, при котором удовлетворяется это условие, может быть найдено с помощью номограммы на рисунке 5. Для нахождения w_с2 необходимо вычислить точку на оси номограммы и провести прямую параллельную оси абцис, до пересечения с кривой Δφ, из полученной точки опустить перпендикуляр на ось абцис и получивши величину w^|_с2 вычислить:

.

Рисунок 5 – Номограмма для определения w^|_с2

Δφ = 40⁰

 

Соответственно точка полученная на номограмме w^|_с2 = 0,83.

с^-1.

Область высоких частот незначительно влияет на качество, поэтому высокочастотный участок желаемой ЛАЧХ проводится так, чтобы разница наклонов между асимптотами некорректированной ЛАЧХ и желаемой ЛАЧХ не превышала 20 дБ/дек. Начиная с последней частоты соединения, желаемая ЛАЧХ совпадает с ЛАЧХ нескорректированной системы.

Исходя из вышесказанного строю желаемую ЛАЧХ (приложение А) и определяю все частоты сопряжения, а также их постоянные времени и общий вид передаточной функции разомкнутой скорректированной системы:

;

                     с^-1,              с;

                     с^-1,                 с;

                     с^-1,             с;

                     с^-1,              с.

По полученным частотам сопряжения запишем в общем виде амплитудно-фазочастотную характеристику передаточной функции скорректированной системы:

.

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика желаемой ЛАЧХ:

                                 .

Логарифмическая фазовая частотная характеристика желаемой ЛАЧХ:

.

Подставим в формулы значения коэффициентов, получим следующие значения логарифмических характеристик:

                                 ,

.

По полученным выражениям строим ЛФЧХ исходной скорректированной системы (Приложение А).

2.3 Оценка качества скорректированной системы на предмет соответствия поставленным требованиям

Моделирование систем на ЭВМ позволяет быстро получить графики переходных процессов в различных частях системы, вводить различные дополнительные блоки для улучшения качества системы или для получения необходимых параметров. Виртуальная среда для моделирования подобных систем MathLab Simulink содержит весь необходимый набор блоков для получения скорректированной системы и позволяет получить все необходимые графики переходных процессов.

Построим схему моделирования скорректированной системы на рисунке 6 и произведем её анализ.

Рисунок 6 - Схема моделирования скорректированной системы

Анализ проводим по полученному графику переходного процесса представленном на рисунке 7.

Рисунок 7 – График переходного процесса

Анализ результатов моделирования показывает, что система удовлетворяет поставленным требованиям:

время переходного процесса не превышает 1,4 с.;

перерегулирование составляет 25% <40%.

Исходя из всех предыдущих расчётов и вычислений можно судить о том, что мы получили удовлетворяющую всем условиям скорректированную систему и можем приступать к проектированию корректирующего устройства.