Построение и анализ математической модели объекта УИТС-42В

 

Содержание

              1. Параметры элементов эквивалентной схемы объекта управления….1

              2.Построение математической модели ОУ

                в пространстве состояния……………………………………………………..2

              3.Составление структурной схемы ОУ и сигнального графа……………..5

              4.Нахождение передаточной функции с использованием формулы

                Мейсона…………………………………………………………………………..6

              5.Нахождение импульсной и переходной характеристик

                  по передаточной функции

                  построение графиков реакции ОУ на единичные импульсный и

                  ступенчатый сигналы

                  расчет и построение амплитудной и фазовой

                  частотных характеристик  ОУ……………………………………………….11

              6.Нахождение переходной и импульсной характеристик ОУ

                 по математической модели в пространстве состояния с

                 использованием  формулы Коши……………………………………………14

 

          Параметры элементов эквивалентной схемы объекта управления

R1=346     Ом

R2=405     Ом

R3=109     Ом

            R4=198Ом

R5=46       Ом

L1=27        Гн

L2=22        Гн

C=37919    мкФ

         Входной сигнал    U

         Выходной сигнал  i1

Рис 1. Эквивалентная схема объекта управления

ОУ

                                                     

Структурная схема объекта управления

1.Построение математической модели ОУ в пространстве состояния

     Во втором уравнении есть интеграл, поэтому дифференцируем его

          Берем уравнение 2^*, в котором есть уравнение второго и первого порядка

          и в качестве Х1 выбираем элементы данного уравнения с производными на

          один порядок ниже

              Вводим вектор Х2 по тому же принципу

            Уравнение в пространстве состояний записывается в левой части

              В данном уравнении имеется 6 переменных i₁, i₂, i₃, x₁x₂x₃ 

             необходимо уйти от i₁, i₂, i₃  выразив их через x_i

 

           Из 1-го уравнения

                  Теперь имеем выраженные выражения в зависимости от i₁, i₂, i₃

           Получим 3 д.у. и одно уравнение выходного порядка.

             Запишем уравнение в матричном виде

          

            

        2.Построение  сигнального графа и структурной схемы

         

              3.Построение передаточной функции ОУ с использованием формулы

            Мейсона

        - количество возможных путей от входа к выходу,

              - определитель графа,

            - коэффициент передачи ^ого пути от входа к выходу,

           - определитель всех касающихся контуров при удалении ^ого пути,

           - сумма коэффициентов передачи всех отдельных контуров,

          - сумма всех возможных произведений из 2^ух некасающихся

            контуров

            - сумма всех возможных комбинаций из 3^ох некасающихся

          контуров

Последовательность нахождения передаточной функции по формуле

 Мейсона.

     1.Определить и записать уравнения всех  путей от входа к

        выходу:.

     2. Выявить число замкнутых контуров и записать их уравнения: .

     3. Записать выражение для определителя системы .

     4.Записать сомножители: .

     5.Записать и преобразовать выражение передаточной функции .

 

               Данная система имеет четыре пути от входа к выходу

                

                В системе имеются 4 замкнутых контура и две пары некасающихся

          контуров

             

            

               

         

            После подстановки коэффициентов передаточная функция имеет вид:

            

         4. Найдем весовую и переходную характеристики для полученной

             передаточной  функции.

  Построение весовой функции.

Представим передаточную функцию в виде:

Найдем корни характеристического уравнения .

Рассчитаем компоненты импульсной функции.

            

график весовой функции

 Построение переходной функции.

Рассчитаем компоненты переходной функции

График переходной функции

Рассчитаем производную переходной характеристики:

         Получили выражение, которое совпадает с весовой характеристикой,

         следовательно расчет выполнен верно. Совместим графики весовой и

         переходной характеристик.

 

             5. Рассчет и построение графиков

            амплитудно-частотной, амплитудно-фазовой  характеристик.

            Последовательность нахождения частотных характеристик

      1)Сделать замену в передаточной функции .

      2)Освободимся от мнимых чисел в знаменателе путем умножения

      числителя на комплексно-сопряженно знаменателю число

     3)Раскрыть скобки и привести подобные члены и разделить в числителе

       на сумму вещественного и мнимого полиномов.

               4)Записать выражения для вещественной  и мнимой  частотных

               характеристик.

       5)Записать выражения для амплитудно-частотной и амплитудно-фазовой

         характеристик.

      6) Построить графики

               Построение частотных характеристик по полученной передаточной

             Функции

             Ручной расчет по передаточной функции

           

            Найдем корни характеристического уравнения .

             

           Тогда передаточная функция примет вид:

          

         

         

         После раскрытия скобок, приведения подобных и разделения вещественной

        и мнимой частей получаем:

               

            Запишем выражения для вещественной  и мнимой  частотных

           характеристик.

          

          

         Запишем выражения для амплитудно-частотной и амплитудно-фазовой

          характеристик.

                      

         

график фазовой характеристики

          6.Нахождение переходной и импульсной характеристик ОУ по мат.модели

              в  пространстве состояния с  использованием  формулы Коши

          Решение уравнения Коши при ступенчатом и импульсном входе. Решение

         ур-я Коши имеет вид при нулевых начальных условиях первый член равен 0

         Нахождение матричной переходной функции производим по формуле

         Лагранжа-Сильвестра

           

             Ввод параметров матрицы А

         

          

          

        

        

        

          В данном случае матрица В не зависит от времени и U(t)=1.

        Подинтегральное выражение равно

         

                              

         Матрицы в Mathcad не интегрируются и не дифференциируются. Поэтому

        надо интегрировать отдельно элементы матриц. Нам необходимо найти

        выражение для:

         

          поэтому далее используем только строку для

        

        

          Интегририруем выражение решения уравнения Коши для переменной

         

          

          Находим выходную переменную через элементы матриц C и D

        

             Решение совпадает с решением, полученным вручную

            

          Весовую функцию сейчас найдем путем дифференцирования переходной

          характеристики

        

        

             

              7.Расчет и построение графиков амплитудной и фазовой частотных

             характеристики в  MathCad

           

               

график амплитудной характеристики

                                                                             график фазовой характеристики