Положение равновесия и устойчивость нелинейных систем

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ

САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

БАЛАКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ТЕХНИКИ, ТЕХНОЛОГИИ И УПРАВЛЕНИЯ

факультет: ИС

кафедра: УИТ

дисциплина: теория автоматического управления

ПОЛОЖЕНИЕ РАВНОВЕСИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Вариант №10(3)

Выполнил:

студент гр. УИТ-41

Кравченко С. А.

принял:

Скоробогатова Т.Н.

г. Балаково 2007 г.

Даны дифференциальные уравнения:

Даны значения U= -4, а0=0.29, a1=0.4

Для нахождения положений равновесия необходимо приравнять к нулю производные в дифференциальном уравнении:

U=0

Получим точки (0;0) и (8;4)

Соберем модель объекта:

Построим фазовый портрет вблизи (0;0)

Как видно, графики сходятся при малых отклонениях н.у. в точку (0,0) (брались значения (-0.1,0.2), (0.1,0.1), (0.4,0.3)), следовательно точка (0,0) является устойчивой)

Построим фазовый портрет вблизи (8;4): при заданных малых отклонениях, фазовые траектории также сходятся к положению равновесия – точка устойчива.

U=-4

Получаем точки (2; 4) – здесь система неустойчива.

Построим статическую характеристику нелинейного элемента в виде трехпозиционного реле:

M=1, а=0,25, b=0.45

В Simulink такую нелинейность можно получить, соединив параллельно 2 реле, обозначив точки включения/выключения и получающихся сигналов для каждого реле (левая и правая полуплоскость на идеальной характеристике):

Соберем модель схемы:

Снимем фазовый портрет при U=0, Y₀=0, Y’₀ = 0:

Переходная характеристика системы:

Время регулирования tр = 10 с

hмакс = 1.4

hуст = 1

Перерегулирование δ = (1.4-1)/1*100% = 40%

Полученная система устойчива.

Нелинейность, типа «люфт»:

Снимем фазовый портрет при U=0, Y₀=0, Y’₀ = 0:

 

Переходная характеристика системы:

Время регулирования tр = 25 с

hмакс = 2

hуст = 1

Перерегулирование δ = (2-1)/1*100% = 100%

Полученная система устойчива.