Передаточная функция звена с заданными значениями параметров

1.1. Заданная передаточная функция звена с заданными значениями параметров.

Колебательное звено

Значения параметров

k	10
T	1
ξ	0.3

1.2. Изложение заданного метода моделирования применительно в заданному звену.

Способ разложения на уравнения первого порядка.

Данный способ заключается в записи дробно-рациональной передаточной функции в виде дифференциального уравнения, потом представление его в виде совокупности линейных дифференциальных уравнений первой степени. После чего требуется определить коэффициенты составленных уравнений первого порядка и подставить их(коэффициенты) в эти уравнения.

1.3. Соображения по выбору и выбранные значения шага интегрирования Δt и величины интервала интегрирования L.

Шаг интегрирования рассчитываем по формуле:

В моём случае ,   тогда:

Интервал интегрирования для звена второго порядка определяем по формуле:

1.4. Листинг фрагмента программы, относящегося к моделированию заданной передаточной функции.

//ОБЛАСТЬ КОНСТАНТ И ПЕРЕМЕННЫХ

//(параметры объекта, шаг интегрирования, интервал моделирования и т.д.)

const

  Lin = 20.0;          //интервал моделирования

  dt = 0.009;      //шаг интегрирования

  ksi=0.3;

  k=10;

  T=1.0;

  g=1.0;

var

  sumdt,

  k11,k12,k21,k22,k31,k32,k41,k42,              //текущее время моделирования

  y,y1,y2,ypr,               //переходная функция

  w                //весовая функция

  : Real;

begin

////////////////////////////////////////////

//НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ

sumdt:=0;

y:=0;ypr:=0; y1:=0;y2:=0;

////////////////////////////////////////////

//НАЧАЛО МОДЕЛИРОВАНИЯ

REPEAT

////////////////////////////////////////////

//УРАВНЕНИЯ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА

  k11:=y2*dt;

  k12:=(-(2*ksi/T)*y2-(1/(T*T))*y1+(k/(T*T))*g)*dt;

  k21:=(y2+(k12/2))*dt;

  k22:=(-(2*ksi/T)*(y2+k12/2)-(1/(T*T))*(y1+k11/2)+(k/(T*T))*g)*dt;

  k31:=(y2+(k22/2))*dt;

  k32:=(-(2*ksi/T)*(y2+k22/2)-(1/(T*T))*(y1+k21/2)+(k/(T*T))*g)*dt;

  k41:=(y2+k32)*dt;

  k42:=(-(2*ksi/T)*(y2+k32)-(1/(T*T))*(y1+k31)+(k/(T*T))*g)*dt;

  y1:=y1+(k11+2*k21+2*k31+k41)/6;

  y2:=y2+(k12+2*k22+2*k32+k42)/6;

  y:=y1;

  w:=(y-ypr)/dt;

  ypr:=y;

1.5. Полученные путём моделирования графики переходной и весовой функции.

1.6. Описание процесса определения параметров заданной передаточной функции.

            Для определения параметров воспользуемся методикой изложенной в учебнике Бессекерского В.А. "Теория систем автоматического регулирования" для колебательного звена:

Найдём нужные для расчёта данные на нашем графике:

                                                     

                                                                         

                                  

                                        

                                 

                                                       

              
                                                                

После чего с помощью приведённых выше формул считаем коэффициенты:

Видим, что коэффициенты приблизительно равны, подтверждая тем самым правильность расчётов.

1.7. Получение аналитических выражений переходной и весовой функции классическим методом.

Задана передаточная функция

Записываем выражение в дифференциальном виде

делим левую и правую часть на

Записываем характеристическое уравнение

Корни для данного характеристического уравнения

Введем обозначения

тогда

Записываем общее решение однородного дифференциального уравнения

где

Записываем систему уравнений

Теперь необходимо вычислить  

Подставляем полученные выражения в уравнение

Из первого уравнения найдём

Подставляем во второе уравнение

Вынесем  за скобки и преобразуем выражение

Отсюда

Найдем 

Находим  из первого уравнения

Подставляем во второе уравнение

Выполнив сокращение получим

Упростим данное выражение

Отсюда

Интегрируем

Записываем общее решение

Выполним преобразование

Преобразуем числитель

Тем самы получаем

Определяем  ,  исходя из того что

Имеем

Отсюда находим

Для нахождения  возьмем производную от y

при t=0

Отсюда

Подставляем в выражение y

Рассмотрим отдельно

И окончательно

1.8. Получение аналитических выражений переходной и весовой функции операторным методом.

Задана передаточная функция

Корни для данного уравнения

Введём обозначение

Найдём

Слагаемое, которое соответствует корню , равно

Найдем слагаемые, соответствующие комплексно-сопряженным корням

Найдем A и B

Подставим значение первого корня

Введем обозначение

Преобразуем выражение

Возвращаемся к выражению

Преобразуем

Обозначим

После чего получим

Запишем уравнение для переходной функции

И окончательно

где

1.9. Описание процесса построения и сам график переходной и весовой функции.

Построение графиков выполнялось в вычислительной среде MathCAD. Для этого задаём параметры звена и уравнения переходной и весовой функции, после чего строим графики.

График переходной функции

График весовой функции