Основы математического аппарата и общие принципы построения импульсных систем

2. Основы математического аппарата и общие принципы построения импульсных систем

2.1. Свойства импульсного элемента

2.1.1. Общие положения. 

Амплтудно-импульсный элемент реагирует на равноотстоящие друг от друга значения входного сигнала f(t) при t=nT. Его выходной сигнал f_p^*(t) является последовательностью импульсов определенной формы, амплитуда которых пропорциональна значениям f(nT) (см. рис.2 .1).

Рис. 2.1. Входной и выходной сигналы амплитудно-импульсного элемента.

Другими словами, выход амплитудно-импульсного элемента (квантователя) f_p^*(t) представляет последовательность импульсов конечной длительности p, амплитуда которых промодулирована входным сигналом f(t) (см. рис. 2.2 и рис.2.3).

Рис. 2.2. Схема квантователя с постоянным периодом и конечным временем выборки

Рис. 2.3. Входной и выходной сигналы квантователя с постоянным периодом

Заметим, что в реальном импульсном элементе форма импульса квантователя может быть произвольной, не обязательно прямоугольной.

От реального импульсного элемента удобно перейти к идеальному элементу. При этом реальный импульсный элемент может быть представлен как последовательное соединение идеального импульсного элемента и формирующей цепи, реакция которой  на импульсное воздействие равна w(t). Частотная характеристика формирующей цепи и изображение её выходного сигнала обозначим соответственно W(jω) и W(s).

Рис. 2.4. Представление реального импульсного элемента как соединения идеального импульсного элемента и формирующей цепи.

2.1.2. Характеристики формирующих цепей. 

Рассмотрим в качестве примеров характеристики формирующих цепей с прямоугольными и треугольными выходными импульсами.

Для импульсов прямоугольной формы получаем:

w(t) = k_ф, 0 [ t < T,

w(t) = 0,   T [ t < :.

подставим s = jw

Для импульсов треугольной формы аналогично получим следующие соотношения:

,

s = jw

Рис. 2.5. Характеристики формирующих цепей: а) формирующая цепь с прямоугольными импульсами; б) формирующая цепь с треугольными импульсами.

2.1.3. Свойства идеального импульсного элемента. 

Идеальный импульсный элемент можно представить как квантователь с бесконечно малым временем выборки p, тогда выходной сигнал такого квантователя f_p^*(t) равен:

f_p^*(t) = f(nT) при t = nT ;

            f_p^*(t) = 0 при t ¹ 0.                                                                            (2.1)

Последнее можно представить как модуляцию несущего сигнала вида

                                                                                     (2.2)

входным сигналом f(t),

где δ_Т(t) представляет собой последовательность единичных импульсов (площадь которых равна единице), равноотстоящих по времени, начинающихся при минус бесконечности и продолжающихся до плюс бесконечности, как показано на рис. 2.6.

Рис. 2.6. Последовательность единичных импульсов

Выходной сигнал f*(t) идеального квантователя можно записать в форме

                                                                 (2.3)

Предполагая, что квантование начинается с момента времени t = 0, можно получить выражение для преобразования Лапласа выходного сигнала квантователя.

                                                  (2.4)

В последнем выражении учитывается , что δ-функция всюду равна нулю, кроме точки t = kT. Кроме того, учитывая, что

L{ δ_Т(t-kT)} = e^-pkT

получаем:

                                                                                            (2.5)

Последнее выражение называется также дискретным преобразованием Лапласа или D-преобразованием, поскольку в нём вместо непрерывных функций f(t) фигурируют решётчатые функции f(kT).

Подставим в (2.4) выражение δ_Т(t) через ряд Фурье; получим

На основании свойств преобразования Лапласа

L{f(t)·e^jkω0^t} = F(s – jkω₀).

Таким образом,

                                                                             (2.6)

Соотношение (2.6) устанавливает связь между изображениями непрерывной F(s) и решётчатой функций F*(s). Операцию нахождения F*(s) по изображению F(s) называют D-преобразованием.

Выражение (2.6) имеет вид бесконечного ряда, откуда следует, что выходная величина импульсного элемента содержит высокочастотные составляющие.

Предположим, что частотный спектр входной величины имеет вид, показанный на рис. 2.7а. В этом случае спектр выходного сигнала импульсного элемента содержит в себе спектр входной величины, а также составляющие других частот, как показано на рис. 2.7б. Этот рисунок соответствует случаю, когда частота самой высокочастотной составляющей входной величины меньше половины частоты квантования

ω £ ω₀/2.        

Рис. 2.7. Амплитудные спектры входного и выходного сигналов идеального квантователя: а – амплитудный спектр непрерывного входного сигнала f(t); б – амплитудный спектр выходного сигнала (ω₀ > 2 ω_c).

Очевидно, что при таком выборе частоты квантования ω₀ возможно (чисто теоретически)восстановить входной сигнал без всякого искажения. Если же частота повторения меньше удвоенной частоты самой высокочастотной составляющей входной величины, то выходная величина импульсного элемента искажается по отношению к входному сигналу (см. рис. 2.8).

                        а)                                                                                           б)

Рис. 2.8. Амплитудные спектры входного и выходного сигналов идеального квантователя: а – амплитудный спектр непрерывного входного сигнала f(t); б – амплитудный спектр выходного сигнала (ω₀ < 2 ω_c).

Соответствующие временные зависимости входных и выходных сигналов импульсного элемента показаны на рис. 2.9.

Рис. 2.9. Входные и выходные сигналы идеального импульсного элемента:

а – входной, б – выходной сигналы при ω₀ > 2 ω_c; в – входной, г – выходной сигналы при ω₀ < 2 ω_c.

2.1.4. Теорема В.А.Котельникова. 

В 1933 г. была опубликована работа В.А.Котельникова «О пропускной способности эфира и проволоки электросвязи» Маиериалы радиосекции к I Всесоюзному съезду по реконструкции связи, Всесоюзный энергетический комитет. В работе был сформулирован следующий фундаментальный вывод:

Для восстановления входной величины частота повторения должна быть больше или равна частоте самой высокочастотной составляющей входной величины:

ω₀ / 2 ω_c.                                                        (2.7)

Это условие известно также как «Импульсная теорема», «теорема Котельникова – Шеннона».