Метод фазовой плоскости, страница 4

т.е. каждому линейному отрезку соответствует уравнение параболы. При переходе от одного участка к другому уравнение параболы меняется. Области фазовой плоскости, соответствующие отдельным прямолинейным участкам нелинейности отделяются друг от друга так называемыми линиями переключения. Линия переключения соответствует точкам излома нелинейности и делит фазовую плоскость на области, каждой из которых соответствует своё дифференциальное уравнение. При пересечении линий переключения некоторые коэффициенты уравнения фазовой траектории скачком меняются. В данном случае нелинейность имеет два участка, следовательно, фазовая плоскость разбивается на две части одной линией переключения с уравнением Х = 0.    (4)

Фазовый портрет данной системы изображён на рис. 29

Таким образом, в данном случае имеем устойчивый предельный цикл – автоколебания. Особая точка в данном случае типа «центр».

2) , т.е. характеристика релейного элемента имеет вид (рис. 30)

Решения уравнения (3) в данном случае запишутся следующим образом:

 - парабола

 - линия равновесия

 - парабола

Нелинейный элемент имеет 3 линейных участка, т.е. имеет две линии переключения:

 и           (5)

В этом случае имеем устойчивый предельный цикл и особую траекторию – линию равновесия АВ.

3) , т.е. характеристика релейного элемента изображена на рис. 32

В этом случае нелинейность содержит 5 участков, на фазовой плоскости должны быть 4 линии переключения. Уравнение линий переключения:

Фазовая траектория соответственно изображена на рис. 33

В данном случае процесс расходящийся и НСАР неустойчива. Таким образом, гистерезис как бы вносит запаздывание в САР, поэтому она становится неустойчивой.

Для стабилизации НСАР введём местную отрицательную обратную связь по скорости:

Составим систему уравнений для данной системы:
, где

Уравнение свободного движения системы () будет иметь вид:

Оригинал этого уравнения:

Поделив (2) на (1), найдём дифференциальное уравнение фазовой траектории:

Найдём решение этого уравнения (фазовую траекторию системы) для случаев:

4) , т.е. статическая характеристика нелинейного элемента имеет вид (Рис. 35)

Уравнение линий переключения (см. случай 2):

Фазовые траектории:

В этом случае фазовая траектория закручивается (рис. 36), т.е. переходный процесс затухает, т.к. обратная связь по скорости вносит в процесс опережение. Линии переключения наклонятся влево, и переключение происходит быстрее.

5) Рассмотрим случай, когда характеристика нелинейного элемента имеет вид (рис. 37)

Уравнение линий переключения (см. случай 3):

Уравнения фазовых траекторий:

В этом случае также процесс становится затухающим (Рис. 38), в системе имеется предельный цикл.

Пусть статическая характеристика нелинейного элемента имеет вид: (Рис. 39)

6)

Уравнение линии переключения будут иметь вид:

Уравнения фазовых траекторий

Процесс в системе с фазовым портретом, изображённым на рис. 40, расходящийся, система неустойчива.

7) Для стабилизации системы введём местную отрицательную обратную связь по скорости (). В этом случае уравнения линий переключения получат наклон:

фазовый портрет системы изображён на рис. 41

В системе в данном случае имеется предельный цикл

VIII.   Скользящий режим

В определённой части фазовой плоскости НСАР с гибкой обратной связью переходит в так называемый скользящий режим. Для примера рассмотрим фазовый портрет НСАР с релейной нелинейностью вида (Рис. 42)

Такой нелинейности соответствует одна линия переключения СД, уравнение которой т.е.                         (1)

Наклон этой линии может быть таков, что в точках А и В она касается парабол, поэтому на участка АВ фазовые траектории подходят к линии переключения с обеих сторон, тогда как вне этого участка фазовые траектории подходят к линии переключения с одной стороны, с другой – отходят от неё (рис. 43). Таким образом, при попадании на участок АВ изображающая точка не может уйти с линии переключения, но она не может и остаться на одном месте, т.к. . При  (участок АО) изображающая точка движется вправо, т.е. к началу координат; при  (участок ВО) – то же. Следовательно, при попадании на участок АВ изображающая точка движется по линии переключения к началу координат. Такой режим называется скользящим. При работе в этом режиме уравнение движения изображающей точки определяется уравнение линии переключения, а так как обычно это уравнение линейно, то этот случай имеет чрезвычайно важное для практики значение, нелинейное уравнение в этом режиме превращается в линейное. Другими словами мы имеем так называемую скользящую линеаризацию релейных систем.

Этот способ часто используется для линеаризации прямолинейных регуляторов. Физический смысл скользящего режима: на линии переключения реле должно переключатся, поэтому физически скользящий режим заключается в бесконечно быстрых переключениях реле, происходящих с бесконечно большой частотой и вызывающих бесконечно малые изменения выходной величины. Практически эти колебания имеют конечную частоту, поэтому скользящий режим фактически реализуется не в виде плавного скольжения по линии переключения, а виде вибраций малой амплитуды и большой частоты вокруг линии переключения.

Итак, в начале САР ведёт себя как нелинейная, и переходный процесс колебательный (по закону параболы). При попадании на участок АВ возникает скользящий режим и переходный процесс заканчивается апериодическим хвостом. (Рис. 44)