Другие предметы \ Теория автоматического управления

Метод фазовой плоскости, страница 3

Графическое изображение

называется диаграммой точечного преобразования. По этой диаграмме мы и можем исследовать всевозможные режимы в НСАР, не строя фазового портрета. Точечное преобразование можно осуществлять необязательно для положительной полуоси. В принципе это можно делать для полуоси X и других прямых. Предположим, что имеется диаграмма точечного преобразования. (Рис. 22)

Характер процессов, происходящих в НСАР определяется взаимным расположением диаграммы точечного преобразования [] и биссектрисы координатного угла, уравнение которой Y₂ = Y₁. Это означает, что после обхода вокруг начала (·) Y₁ возвращается на своё место и, следовательно, в системе имеют место незатухающие колебания (предельный цикл).

Область ниже биссектрисы ОА означает, что после обхода начала координат Y₁ < Y₁, т.е. колебания в системе затухают и фазовая траектория представляет закручивающуюся логарифмическую спираль (затухающие колебания).

Область выше биссектрисы ОА соответствует Y₂ > Y₁, и, следовательно, в этой области фазовые траектории представляют раскручивающуюся спираль (расходящиеся колебания).

Рассмотрим характер процессов в САР при любых начальных условиях:

Точечное преобразование точки - точка 1 (Рис. 22). К точке 1 применим ещё раз точечное преобразование, для чего найдём на оси абсцисс значение . Для этого проведём через точку 1 прямую, параллельную оси абсцисс до пересечения с биссектрисой (точка 2). Точечное преобразование точки 2 – точка 3. Повторяя эти преобразования получаем ступенчатую линию, приводящую нас в точку равновесия А₂. Точки касания ступенчатой линией биссектрисы ОА определяют последовательность точек пересечения фазовой траекторией полуоси Y.

При начальных условиях Y₀ = Y₁₁ (справа от точки А₂) точечные преобразования опять приводят нас к точке А₂, следовательно точка А₂ является точкой устойчивого равновесия и соответствует устойчивому предельному циклу.

Аналогичные рассуждения в окрестностях точки А₁ показывают, что точка А₁ является точкой неустойчивого равновесия (неустойчивый предельный цикл).

Итак, устойчивым предельным циклам соответствуют такие точки пересечения диаграммы точечного преобразования с биссектрисой Y₂ = Y₁, в которых диаграмма точечного преобразования имеет меньший наклон к оси абсцисс, чем биссектриса.

Аналитически это записывается так: , т.к. биссектрисы = 1. При имеем неустойчивый предельный цикл. Другими словами, устойчивый предельный цикл получается, если диаграмма точечного преобразования пересекает биссектрису Y₂ = Y₁ сверху вниз, а неустойчивый – если снизу вверх. Таким образом, кривая точечного преобразования позволяет проанализировать возможные режимы поведения НСАР, а именно:

- система устойчива в малом, т.к. при Y₁ < Y_A₁ изображающая точка стремится к нулю;

- в системе возможен один предельный устойчивый цикл (точка А₂).

Зная координаты точки А₂, можно рассчитать частоту и амплитуду автоколебаний. При изменении параметров НСАР диаграмма точечного преобразования перемещается относительно биссектрисы угла. При этом поведение НСАР может качественно меняться (Рис. 23).

Кривая 1, как мы видели ранее, соответствует устойчивости в малом и двум предельным циклам: устойчивому (А₂) и неустойчивому (А₁). Кривая 3 соответствует устойчивости в целом (ни одного предельного цикла). Кривая 2 касается биссектрисы и соответствует полуустойчивому предельному циклу. При изменении параметров НСАР мы переходим от кривой 2 к кривой 1 или 3, т.е. кривая 2 является границей между совершенно разными режимами работы НСАР. Значения параметров НСАР, при которых имеет место полуустойчивый предельный цикл, называются бифуркационными. (Бифуркация (лат.) – разделение, разветвление).

VI. Построение переходного процесса по фазовому портрету (метод Франка)

На рис. 24 изображена фазовая траектория системы

;

С другой стороны ,
отсюда

Из выражения вытекает порядок построения переходного процесса:

1. Строим фазовую траекторию системы.

2. Задаёмся промежутком времени и находим .

3. Из точки начальных условий X₀ вписываем в фазовую траекторию равнобедренные треугольники с углом при вершине . Тогда, согласно выражению , каждому , заключённому в угле, соответствует . Следовательно, можно построить переходный процесс (Рис. 25)