Математическое описание сигналов различного типа. Разложение сигнала по системе ортогональных и ортонормальных функций. Интеграл Фурье. Разложение функции в ряд Лорана, страница 4

4.  Что такое простой полюс функции.

5.  В каком случае можно говорить о полюсах функции.

ЛЕКЦИЯ 5

ВЫЧЕТ ФУНКЦИИ В ОСОБОЙ ТОЧКЕ. ПРИМЕНЕНИЕ ВЫЧЕТОВ.

Цель: Изучить применение вычетов функции.

Задачи:

1.  Изучить понятие вычета функции.

2.  Изучить поведение функции в окрестности изолированной особой точке.

3.  изучить применение вычетов.

Вычетом функции  в изолированной точке  называется интеграл вида:

 

который, берется по замкнутому контуру, охватывающему точку  и не содержащему внутри других особых точек и непроходящему через такие точки.

Теорема о вычетах.

Пусть  регулярная аналитическая функция внутри контура Г за исключением находящихся внутри Г особых точек  и непрерывна на всей области Г. Тогда интеграл по области Г равен сумме вычетов в этих особых точках умноженный на .

Доказательство.

Пусть внутри Г, расположены точки . Окружим каждую точку малым контуром  так, чтобы каждая  заключала внутри себя только одну точку z, целиком лежащую внутри контура и не пересекается с другими .

По теореме Коши:

 в последнем равенстве для каждого интеграла правой части справедливо равенство:

Подставив [4] в [3] получаем [2].

В изолированной особой точке однозначного характера  вычет в ней  равен коэффициенту  ряда Лорана функции  при .

Теорема.

Пусть  - простой полюс для функции , где  - простой ноль для , то есть . Тогда справедливо равенство:

.

Доказательство.

Если  - простой полюс, то ряд Лорана для  имеет следующий вид:

Умножая обе части [6] на и переходя к пределу получаем:

так как  - простой ноль для функции , а  , так как , тогда для предела [7] справедливо равенство:

подставив [8] в [7] получаем [6].

Если  - порядка n, для функции , тогда вычет этой функции в точке  будет иметь следующий вид:

Для вычисления вычета в особой точке  имеет место формула:

при этом функцию следует разложить в ряд Лорана.

Поведение функции в окрестностях бесконечно удаленной точки.

Рассмотрим поведение регулярной функции  в окрестностях  бесконечно удаленной точки . Примем . Сама точка  переходит в .  называется регулярной в бесконечности , если преобразованная функция  регулярна в точке .

Регулярная функция  в точке  разлагается в ряд Тейлора и имеет следующий вид:

Возвращаясь в разложении [1] к  получаем разложение в точке  равной бесконечности:

Бесконечно удаленная точка , может быть изолированной точкой однозначного характера, тогда разложение функции в окрестности точки  имеет вид:

В этом случае главной частью разложения [3] является  , а правильной частью -  .

Определим коэффициенты ряда [3]. Для этого рассмотрим окружность ,  удовлетворяющую условию . . Окружность обходит в положительном направлении по отношению к часовой стрелки. Заменив в [3]  на  и умножая на   и проинтегрировав по Г, получаем:

Вычетом функции  в точке  является взятый со знаком « - » коэффициент  при  в разложении [3].

Теорема.

Пусть  - регулярная функция, имеющая в расширенной плоскости комплексных переменных только изолированные особые точки, тогда сумма вычетов  во всех особых точках равна 0.

Доказательство.

Пусть Г – окружность в которой находится изолированная особая точка z  с радиусом  : . Радиус настолько большой, что все особые точки  находятся внутри этой окружности. Согласно теореме о вычетах:

Г – обходит точки  против часовой стрелки, тогда [7] примет вид:

Подставим [7] в [8], тогда:

Пример:

Вычислить .

Функция  имеет 4 простых полюса:

Точка  является правильным нулем функции . Разложение функции  имеет вид:

, то .

Применение вычетов.

Пример:

Функция . Найти вычет функции в замкнутом контуре

Г – окружность.

Найдем полюсы:

- простой полюс.

Пример 2.

2 простых полюса:

Интегралы вида:

,

где R – рациональная функция от синуса и косинуса, сводится к решению интеграла по окружности , где z заменяют на , тогда по формуле Эйлера:

 

Вопросы для самоконтроля.

1. Что называется изолированной особой точкой.
2. Что такое вычет функции.
3. Сформулируйте теорему о вычетах.
4. Как может вести себя функция в окрестностях изолированной особой точки.
5. Как может быть применима теория о вычетах.

ЛЕКЦИЯ 6.

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ.

Цель. Изучить построение оптимальных систем управления.

Задачи:

1.  Изучить теорию построения оптимальных систем.

2.  Изучить методы построения оптимальных систем.

САУ, обеспечивающие наилучшее или оптимальное значение какого-либо показателя качества системы, называются оптимальными САУ. Величина, характеризующая качество системы, ее минимальное или максимальное значение называют критерием оптимальности. На параметры системы могут накладываться какие-либо ограничения. Их также необходимо учитывать при определении наилучшего значения параметра оптимизации. В случае, если при синтезе САУ необходимо определить несколько наилучших значений параметров оптимизации в этом случае поступают одним из 2 способов:

1. Из всех параметров оптимизации составляют один интегральный параметр и для него решают оптимизационную задачу.

2. Для каждого параметра оптимизации ищут варианты решения. При этом остальные параметры используют в качестве ограничений. Из всех полученных решений выбирают одно наиболее удовлетворяющее поставленным требованиям.

Пути построения оптимальных систем.

1. В этом случае САУ оптимизируют на основе подбора и использования существующих методов анализа систем. В данном случае рассматриваются различные варианты систем с различными параметрами и законами регулирования. Затем расчеты сравниваются, и выбирается вариант, для которого принятый критерий имеет максимальное или минимальное значение.

2.  Заключается в непосредственном определении оптимальной системы. Здесь существует 2 способа:

- задается структура системы и требуется найти оптимальное значение ее параметров, которые обеспечивают экстремумы выбранного критерия.

- система считается полностью неизвестной и требуется определить ее характеристики, обеспечивающие достижение экстремума критерия, идеального из всех числовых значений параметров.

Чаще всего значение критерия оптимизации определяется не текущим состоянием объекта, а его поведение в течение всего процесса управления. Поэтому критерий оптимальности можно представить в виде:

 ,

где:

В общем случае  - есть вектора:

 - время переходного процесса системы.

При решении задач оптимизации на величину выходного параметра  и управляющего воздействия  могут накладываться некоторые ограничения, которые можно записать в виде следующего неравенства: