Другие предметы \ Математические основы теории систем

Математическое описание сигналов различного типа. Разложение сигнала по системе ортогональных и ортонормальных функций. Интеграл Фурье. Разложение функции в ряд Лорана, страница 3

. Если относительная амплитуда используется при построении графика спектра для периодической функции с периодом Т, тогда вместо графика амплитудного спектра получаем график средней плотности амплитуды:

В случае при , функция представляет собой спектральную плотность:

- бесконечно малое приращение амплитуды.

Аргумент спектральной плотности характеризует начальную фазу гармоники, а функция:

- относительную амплитуду этих гармоник.

Спектральные характеристики, зависящие от времени.

Функция:

называется текущей спектральной характеристикой и используется при исследовании реальных процессов. В этом случае момент начала процесса известен заранее, и его можно определить как нулевой. При этом преобразование Фурье имеет вид:

На интервале .

Наблюдение ведется на конечном промежутке времени, следовательно, верхний предел интеграла можно взять t. В результате получаем выражение для текущей спектральной характеристики:

Полученное выражение называется мгновенной спектральной характеристикой и используется в тех случаях, когда исследуется влияние на функцию не на всем интервале наблюдения, а лишь в момент предшествующий рассматриваемому явлению.

Найдем взаимосвязь между двумя последними выражениями. Для этого представим мгновенную спектральную плотность в виде:

в результате получим разность 2 текущих спектров. Обозначим ее через .

Когда

Свойства непрерывного спектра. (Свойства преобразований Фурье).

- преобразование Фурье.

- обратное преобразование Фурье.

- свойство линейности.

Линейной комбинации функций соответствует комбинация спектральных характеристик этих функций. Обратное преобразование Фурье от линейных комбинаций спектральных функций имеет вид:

- свойство дифференцирования.

Спектр производной функции определяется как спектр исходной функции умноженной на

-свойство интегрирования.

Спектр от интеграла некоторой функции на интервале определяется как спектр исходной функции, деленной на :

-спектр смещенной функции.

Спектр смещенной функции равен спектру исходной функции умноженной на , где - смещение функции.

-изменение масштаба.

(Сжатие или растяжение). Рассмотрим функцию . Построим график функции:

если

В этом случае:

Сжатие исходного сигнала на величину по времени t приводит к расширению спектра в раз по частоте.

-распределение энергии по гармоникам непериодического сигнала:

Найдем спектр от произведения 2 функции:

Если заданы 2 функции , спектры которых соответственно равны:

то спектр от произведения этих функций будет равен:

в случае если , то спектр равен:

Где - энергетическая спектральная характеристика.

-интеграл свертки.

Рассмотрим и на интервале . Функция:

называется сверткой функции и обозначается:

Спектр от свертки функций определяется как произведение спектральных характеристик этих функций:

-спектр от произведения двух функций

Вопросы для самоконтроля.

1. Понятие спектра.

2. Свойства непрерывного спектра.

3. Понятие спектральной характеристики.

4. Спектры зависящие от времени.

ЛЕКЦИЯ 4

РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В РЯД ЛОРАНА.

Цель. Изучить теорию о вычетах функции.

Задачи:

1. Рассмотреть разложение функции в ряд Лорана.

2. Изучить свойства рядов Лорана.

3. Изучить классификацию изолированных особых точек.

Теорема Лорана.

При исследовании поведения регулярной функции в окрестностях изолированной особой точки, требуется разложить ее в ряд Лорана в кольце:

Если регулярная аналитическая функция в кольце [1], то всюду в этом кольце она раскладывается в ряд:

- простой замкнутый контур, окружающий точку и расположенный в кольце .

Доказательство.

Пусть z – фиксированная произвольная точка в кольце . Выберем радиусы окружностей:

так, что:

Тогда значение функции можно представить с помощью интегральной формы Коши:

Множитель представим в виде:

Ряд [4] равномерно сходится по на окружности Г. Подставим [4] в [3] и интегрируя почленно получим:

Множитель в интеграле по представим в виде:

Ряд [7] равномерно сходится по на окружности . Подставим [7] в [3]и интегрируя почленно получим:

Заменяя в [8] n на k и объединяя два ряда [8] и [5] получим разложение вида [2].

Свойства рядов Лорана.

1. Ряд Лорана представляет собой сумму 2 функциональных рядов:

- главная часть

- правильная часть

2. Ряд Лорана абсолютно сходится всюду в кольце сходимости:

Главная и правильная части являются рядами по степеням:

3. Ряд Лорана сходится абсолютно и равномерно в любом замкнутом кольце, расположенным внутри кольца сходимости, то есть для всех z, удовлетворяющих условию:

4. Ряд Лорана можно интегрировать почленно по любому контуру целиком, лежащим внутри кольца сходимости и дифференцировать его внутри кольца сколь угодно раз.

Классификация изолированных особых точек.

Пусть регулярная аналитическая функция в некоторой окрестности точки , то есть при , а в самой точке функция либо не аналитична, либо не определена, тогда является особой изолированной точкой.

Функцию в окрестности точки , можно разложить в ряд Лорана:

Ряд [1] используется для классификации особых точек однозначного характера. Если все коэффициенты главной части ряда при всех k<0 равны 0, то является устранимой особой точкой и тогда: