БАЛАКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ТЕХНИКИ, ТЕХНОЛОГИИ И УПРАВЛЕНИЯ
ФАКУЛЬТЕТ ИНЖЕНЕРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ
КАФЕДРА УИТ
Теория автоматического управления
Исследование устойчивости стационарных и нестационарных линейных и непрерывных и дискретно-непрерывных систем автоматического управления
Сербаев В.В.
Скоробогатова Т.Н. _______
“______” ___________2003
2003
СОДЕРЖАНИЕ
1 Исходные данные
2 Анализ звеньев
3 Упрощение
4 Проверка устойчивости
4.1 Критерий Гурвица
4.2 Критерий Льенара-Шипара
4.3 Критерий Рауса
4.4 Критерий Михайлова
4.5 Критерий Найквиста
4.6 D-разбиение
4.7
Вариант № 44
Цель работы: изучить методы исследования устойчивости стационарных и нестационарных линейных непрерывных и дискретно непрерывных САР. Доработать систему, получив ее устойчивой. Проверить устойчивость по критериям: 1.Гурвица, 2.Льенара – Шипара, 3.Рауса, 4.Михайлова, 5.Найквиста, 6.D-разбиения, 7.Ляпунова, 8.Шур - Кона.
1 Исходные данные
Исходная схема изображена на схеме 1
Схема 1
Передаточные функции звеньев:
W1(p)=38;
W2(p)=
; W3(p)=0.74;
W4(p)=0.74;
W5(p)= 
; W6(p)= 
; W7(p)= 
; W8(p)= 
; W9(p)=16.3;
W10(p)= 
2 Анализ звеньев
W1(p) – пропорциональное звено, служит для усиления входного сигнала, являющегося результатом сравнения первоначального сигнала и сигнала ООС; W2(p) – апериодическое звено, в данном случае служит для ослабления резких скачков, поступающих с усилителя; W3(p) и W4(p) – пропорциональные звенья, служат для ослабления сигнала поступившего с W2(p), после чего сигналы сравниваются, на выходе получаем ноль, т.к. передаточные функции звеньев равны; W5(p), W6(p), W7(p) – параллельное соединение звеньев дает одно пропорциональное звено; W8(p) – последовательное соединение интегрирующего и апериодического звена, делает систему неустойчивой; W9(p) – усилительный эффект на выходе, возможно дальнейшее использование сигнала; W10(p) – звено обратной связи, служит для преобразования сигнала вышедшего из прямого звена, в удобную для сравнения форму, снимает резкие скачки.
3 Упрощение
Требуется изменить передаточную
функцию W3(p)
или W4(p),
чтобы суммарная функция была ненулевой. Требуется добавить звено к W8(p) (
дифференцирующее звено), чтобы снять интегрирующую составляющую, тем самым
итоговое звено будет устойчивым. Проведя преобразования, получим схему 2.
Схема 2
Обозначение: W11(p)=2, W12(p)=p.
Упростим:
Схема 3
Обозначение: W13(p)=W1(p)*W2(p)=
38*=
W14(p)=W11(p)*W3(p)=2*0.74=1.48
W15(p)=W12(p)*W8(p)=p*=
W16(p)=W5(p)+W6(p)-W7(p)=
+-=
Упростим далее:
Схема 4
Обозначение: W17(p)=W14(p)-W4(p)=1.48-0.74=0.74
W18(p)=W15(p)+W16(p)= +=
Схема 5
Обозначение: W19(p)=W13(p)*W17(p)*W18(p)= *0.74*=
=
Схема 6
Обозначение: W20(p)=
=
Упростим схему:
Схема 7
Обозначение: W21(p)=W20(p)*W9(p)= 
4 Проверка устойчивости
4.1 Критерий Гурвица
Запишем характеристическое уравнение системы:
a0=0.692102782; a1=6.6918393; a2=18.428238; a3=14.27276397; a4=1.001183313
Теперь можно составить главный определитель Гурвица
|
Теперь посчитаем определители:
1. 
(6.6918393)= 6.6918393
2. 
=113.441
 |
3. 
=1574
Согласно критерию Гурвица, система устойчива, т.к. определители имеют один знак с a0=0.692102782.
4.2 Критерий Льенара-Шипара
Характеристическое уравнение является уравнением 4 степени,
т.е. должно выполнятся 
и 
. Условие выполняется, т.е.
система устойчива.
4.3 Критерий Рауса
Требуется составить таблицу коэффициентов.
Ck,i=Ck+1,i-2-ri*Ck+1,i-1,
где 
|
Коэффициент ri |
Номер строки i |
Номер столбца к |
||
|
к=1 |
к=2 |
к=3 |
||
|
----- |
1 |
a0=C11 |
a2=C21 |
a4=C31 |
|
----- |
2 |
a1=C12 |
a3=C22 |
a5=C32=0 |
|
r3=C11/C12= =0.103424895 |
3 |
C13=C21-r3*C22= =16.95207889 |
C23=C31-r3*C32= =1.001183313 |
C33=C41-r3*C42= =0 |
|
r4=C12/C13= =0.394750363 |
4 |
C14=C22-r4*C23= =13.87754649 |
C24=C32-r4*C33= =0 |
C34=C42-r4*C43= =0 |
|
r5=C13/C14= =1.22154726 |
5 |
C15=C23-r5*C24= =1.001183313 |
C25=C33-r5*C34= =0 |
C35=C43-r5*C44= =0 |
Таблица 1
Согласно критерию Рауса, система устойчива, т.к. все коэффициенты столбца 1 имеют один знак.
4.4 Критерий Михайлова
Для использования критерия требуется в характеристическом уравнении использовать преобразование p=jω. Используем данное преобразование:
D(jω)=0.692102782ω4-j6.6918393ω3-18.428238ω2+j14.27276397ω+1.001183313=0
Кроме того: D(jω)=X(ω)+jY(ω), тогда
X(ω)=0.692102782ω4-18.428238ω2+1.001183313
Y(ω)=-6.6918393ω3+14.27276397ω
Графики оформлены в MathCAD, с постепенным увеличением масштаба.
Рисунок 1, а
Рисунок 1, б
Рисунок 1, в
Последний график показывает, что условие K=π/2*n, где K-угол поворота годографа, n-порядок характеристического уравнения, соблюдено. График уходит в бесконечность в 4 квадранте, система устойчива.
4.5 Критерий Найквиста
Требуется представить передаточную функцию в комплексной форме.
Т.е.
Re(W(jω))= 
Im(W(jω))= 
Построим график
а) б)
Рисунок 2
Рисунок 2, в
4.6 D-разбиение
Примем коэффициент передачи звена W10(p)=k, тогда
W20(p)=
=
Итоговая передаточная функция примет вид:
W(p) 
Запишем характеристическое уравнение
=0
Требуется выделить мнимую и действительную части, приняв p=jω
Re(k)= 
Im(k)= 
Рисунок 3
Согласно рис.3, у системы есть область устойчивости, и k=0.21*10^(-5) принадлежит области устойчивости, т.е. система устойчива.
4.7 Критерий Ляпунова
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.
