Исследование устойчивости стационарных и нестационарных линейных и непрерывных и дискретно-непрерывных систем автоматического управления

 

БАЛАКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ТЕХНИКИ, ТЕХНОЛОГИИ И УПРАВЛЕНИЯ

ФАКУЛЬТЕТ ИНЖЕНЕРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ

КАФЕДРА УИТ

Расчетно-графическая работа №1

по дисциплине

Теория автоматического управления

Исследование устойчивости стационарных и нестационарных линейных и непрерывных и дискретно-непрерывных систем автоматического управления

                                                                            Выполнил ст. гр. УИТ-41

                                                                                                  Сербаев В.В.

                                                                               Принял профессор

                                                                                                Скоробогатова Т.Н. _______

                                                                                             “______” ___________2003

2003

СОДЕРЖАНИЕ

1 Исходные данные                                                                        

2 Анализ звеньев

3 Упрощение

4 Проверка устойчивости

4.1 Критерий Гурвица

4.2 Критерий Льенара-Шипара

4.3 Критерий Рауса

4.4 Критерий Михайлова

4.5 Критерий Найквиста

4.6 D-разбиение

4.7

Вариант № 44

Цель работы: изучить методы исследования устойчивости стационарных и нестационарных линейных непрерывных и дискретно непрерывных САР. Доработать систему, получив ее устойчивой. Проверить устойчивость по критериям: 1.Гурвица, 2.Льенара – Шипара, 3.Рауса, 4.Михайлова, 5.Найквиста, 6.D-разбиения, 7.Ляпунова, 8.Шур - Кона.

1 Исходные данные

Исходная схема изображена на схеме 1

                                                           Схема 1

Передаточные функции звеньев:

W₁(p)=38; W₂(p)=; W₃(p)=0.74; W₄(p)=0.74; W₅(p)= ; W₆(p)= ; W₇(p)= ; W₈(p)= ; W₉(p)=16.3; W₁₀(p)=

2 Анализ звеньев

W₁(p) – пропорциональное звено, служит для усиления входного сигнала, являющегося результатом сравнения первоначального сигнала и сигнала ООС; W₂(p) – апериодическое звено, в данном случае служит для ослабления резких скачков, поступающих с усилителя; W₃(p)  и W₄(p) – пропорциональные звенья, служат для ослабления сигнала поступившего с W₂(p), после чего сигналы сравниваются, на выходе получаем ноль, т.к. передаточные функции звеньев равны; W₅(p), W₆(p), W₇(p) – параллельное соединение звеньев дает одно пропорциональное звено; W₈(p) – последовательное соединение интегрирующего и апериодического звена, делает систему неустойчивой; W₉(p) – усилительный эффект на выходе, возможно дальнейшее использование сигнала; W₁₀(p) – звено обратной связи, служит для преобразования сигнала вышедшего из прямого звена, в удобную для сравнения форму, снимает резкие скачки.

3 Упрощение

Требуется изменить передаточную функцию W₃(p)  или W₄(p), чтобы суммарная функция была ненулевой. Требуется добавить звено к W₈(p) ( дифференцирующее звено), чтобы снять интегрирующую составляющую, тем самым итоговое звено будет устойчивым. Проведя преобразования, получим схему 2.

Схема 2

Обозначение: W₁₁(p)=2, W₁₂(p)=p.

Упростим:

Схема 3

Обозначение: W₁₃(p)=W₁(p)*W₂(p)= 38*=

W₁₄(p)=W₁₁(p)*W₃(p)=2*0.74=1.48

W₁₅(p)=W₁₂(p)*W₈(p)=p*=

W₁₆(p)=W₅(p)+W₆(p)-W₇(p)= +-=

Упростим далее:

Схема 4

Обозначение: W₁₇(p)=W₁₄(p)-W₄(p)=1.48-0.74=0.74

W₁₈(p)=W₁₅(p)+W₁₆(p)= +=

Схема 5

Обозначение: W₁₉(p)=W₁₃(p)*W₁₇(p)*W₁₈(p)= *0.74*=

=

Схема 6

Обозначение: W₂₀(p)==

Упростим схему:

Схема 7

Обозначение: W₂₁(p)=W₂₀(p)*W₉(p)=

4 Проверка устойчивости

4.1 Критерий Гурвица

Запишем характеристическое уравнение системы:

a₀=0.692102782; a₁=6.6918393; a₂=18.428238; a₃=14.27276397; a₄=1.001183313

Теперь можно составить главный определитель Гурвица

          

Теперь посчитаем определители:

1.  (6.6918393)= 6.6918393

2.                                    =113.441

 

3.                                                   =1574

Согласно критерию Гурвица, система устойчива, т.к. определители имеют один знак с a₀=0.692102782.

4.2 Критерий Льенара-Шипара

Характеристическое уравнение является уравнением 4 степени, т.е. должно выполнятся  и

. Условие выполняется, т.е. система устойчива.

4.3 Критерий Рауса

Требуется составить таблицу коэффициентов.

C_k,i=C_k+1,i-2-r_i*C_k+1,i-1, где  

Коэффициент ri	Номер строки i	Номер столбца к
		к=1	к=2	к=3
-----	1	a0=C11	a2=C21	a4=C31
-----	2	a1=C12	a3=C22	a5=C32=0
r3=C11/C12= =0.103424895	3	C13=C21-r3*C22= =16.95207889	C23=C31-r3*C32= =1.001183313	C33=C41-r3*C42= =0
r4=C12/C13= =0.394750363	4	C14=C22-r4*C23= =13.87754649	C24=C32-r4*C33= =0	C34=C42-r4*C43= =0
r5=C13/C14= =1.22154726	5	C15=C23-r5*C24= =1.001183313	C25=C33-r5*C34= =0	C35=C43-r5*C44= =0

Таблица 1

Согласно критерию Рауса, система устойчива, т.к. все коэффициенты столбца 1 имеют один знак.

4.4 Критерий Михайлова

Для использования критерия требуется в характеристическом уравнении использовать преобразование p=jω. Используем данное преобразование:

D(jω)=0.692102782ω⁴-j6.6918393ω³-18.428238ω²+j14.27276397ω+1.001183313=0

Кроме того: D(jω)=X(ω)+jY(ω), тогда

X(ω)=0.692102782ω⁴-18.428238ω²+1.001183313

Y(ω)=-6.6918393ω³+14.27276397ω

Графики оформлены в MathCAD, с постепенным увеличением масштаба.

Рисунок 1, а

Рисунок 1, б

Рисунок 1, в

Последний график показывает, что условие K=π/2*n, где K-угол поворота годографа, n-порядок характеристического уравнения, соблюдено. График уходит в бесконечность в 4 квадранте, система устойчива.

4.5 Критерий Найквиста

Требуется представить передаточную функцию в комплексной форме.

Т.е.

Re(W(jω))=

Im(W(jω))=

Построим график

а)                                                                              б)

Рисунок 2

Рисунок 2, в

4.6 D-разбиение

Примем коэффициент передачи звена W₁₀(p)=k, тогда

W₂₀(p)==

Итоговая передаточная функция примет вид:

 W(p)

Запишем характеристическое уравнение

=0

Требуется выделить мнимую и действительную части, приняв p=jω

Re(k)=

Im(k)=

Рисунок 3

Согласно рис.3, у системы есть область устойчивости, и k=0.21*10^(-5) принадлежит области устойчивости, т.е. система устойчива.

4.7 Критерий Ляпунова