Исследование линейной системы автоматического регулирования, страница 3

,                                                                                                                 (5.13)

,                                                                                              (5.14)

,                                                                                                                (5.15)

,                                                                                            (5.16)

,                                                                                           (5.17)

.                                                                                           (5.18)

Функция Л. А. Ч. Х. разомкнутой системы:

 .                                                                      (5.19)

Функции Л.Ф.Ч.Х. звеньев в порядке изображения их на преобразованной структурной схеме разомкнутой САР:

,                                                                                                                     (5.20)

,                                                                                                   (5.21)

,                                                                                                                 (5.22)

,                                                                                                 (5.23)

,                                                                                                (5.24)

.                                                                                                (5.25)

Функция Л. Ф. Ч. Х. разомкнутой системы:

                         (5.26)

Рассчитав необходимые данные и характеристики типовых динамических звеньев, строятся Л. А. Ч. Х. и Л. Ф. Ч. Х. разомкнутой системы.

График Л.А.Ч.Х. разомкнутой системы:

График Л.Ф.Ч.Х. разомкнутой системы:

6  ПРОВЕРКА ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ НА УСТОЙЧИВОСТЬ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАПАСА УСТОЙЧИВОСТИ ПО МОДУЛЮ И ФАЗЕ

6.1 Проверка замкнутой САР на устойчивость

Проверка САР на устойчивость будет осуществляться по критерию устойчивости Гурвица.

Передаточная функция замкнутой системы:

,                                                                                                          (6.1)

                                           (6.2)

Приравняем знаменатель этого выражения к нулю, получим характеристическое уравнение замкнутой системы:

                                                (6.3)

Коэффициенты характеристического уравнения:

Коэффициенты характеристического уравнения положительны, значит можно рассматривать систему на устойчивость.

Критерий устойчивости системы Гурвица: Система будет устойчива, если все коэффициенты характеристического уравнения и все диагональные миноры определителя Гурвица положительны.

У нас характеристическое уравнение 4-го порядка, следовательно определитель Гурвица будет иметь вид:

                                                                                                             (6.4)

Для определения устойчивости составляем и миноры определителя:

,                                                                                                                    (6.5)

,                             (6.6)

,                  (6.7)

                                                     (6.8)

Все определители Гурвица (все n диагональные миноры матрицы) положительны, значит условие устойчивости системы по критерию Гурвица выполняется, а следовательно данная замкнутая САР устойчива.

6.2  Определение запаса устойчивости системы по фазе

Запас устойчивости может быть определен с использованием логарифмического критерия устойчивости Найквиста, который опирается на логарифмические характеристики разомкнутой системы. Он гласит: система находится в устойчивом состоянии, если частота среза меньше частоты, при которой Л.Ф.Ч.Х. переходит через угол .

Графики Л. А. Ч. Х. и Л. Ф. Ч. Х. разомкнутой системы.

Л.А.Ч.Х. разомкнутой системы на графике пресекает ось абсцисс

при                                                                                                 (6.9)

Фаза при 62,98Гц равна:

.                                                                                                (6.10)

Запас устойчивости по фазе:

.                                                (6.11)

6.3  Определение запаса устойчивости системы по модулю

Л.Ф.Ч.Х. разомкнутой системы на графике пресекает прямую   при    .

,                                                                                                                             (6.12)

дБ.                                                                                                                     (6.13)

Запас устойчивости по модулю:

,                                                                                        (6.14)

.                                                                                                              (6.15)

Т.е. можно увеличить коэффициент усиления  передаточной функции в 3,16 раза.

Можно сделать вывод, что, данная система обладает запасом устойчивости как по модулю, так и по фазе.

7  РАСЧЁТ УСТАНОВИВШЕЙСЯ ОШИБКИ СЛЕЖЕНИЯ ЗА ЗАДАЮЩИМ   ВОЗДЕЙСТВИЕМ ().

Передаточная функция по ошибке:

     

.                                                                                                                      (7.1)

Входной сигнал:

          =100 c^-1                                                                                                       (7.2)

Изображение входного сигнала:

.                                                                                                                                         (7.3)

Найдём установившуюся ошибку слежения воспользовавшись теоремой об установившемся значении оригинала:

,                                                                                                         (7.4)

.                                                                                                                                 (7.5)

Установившееся значение ошибки:

.                                                                              (7.6)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1  Юревич Е.И. Теория автоматического управления. «БХВ-Петербург», Санкт-Петербург, 2007.

2  Никулин Е.А. Основы теории автоматического управления. Частотные методы анализа и синтеза систем. «БХВ-Петербург», Санкт-Петербург, 2004.