Информатизация общества и ее составляющие. Поколения ЭВМ и причины их смены. Классификация средств вычислительной техники. Область применения, типы ЭВМ и требования к ним, страница 2

(1)Системы счисления (СС), используемые в ЭВМ и требования к ним

Число – одно из фундаментальных понятий в математике. Над числами производят математические операции, при этом выполнение вычислений предполагает запоминание данных. Одним из простейших способов запоминания чисел является их запись в некоторой символической (цифровой) форме. Совокупность приемов и правил, устанавливающих взаимно однозначное соответствие между числом и его записью называется системой счисления (нумерацией). СС должна обеспечивать: а)возможность записи любой числовой величины, взятой из рассматриваемого диапазона значений; б)единственность представления определенной числовой величины в данной символической форме; в)простоту выполнения математических операций над числами, представленными в соответствующей символической форме.

(2)Позиционные системы счисления и принцип их построения

Позиционные СС – это системы, в которых числовые значения соответствующего символа определяются его положением в символьной последовательности, отображающей значение данного числа (единицы, десятки, сотни). Существует несколько позиционных СС: десятичная, шестнадцатеричная, восьмеричная, двоичная. Принцип построения позиционной СС: 1)выбирают некоторое число q>1, называемое основанием СС, где q попарно отличающихся символов {а₀, а₁, а₂, …а_q-1} – алфавит СС; 2)задается возрастающая последовательность, начиная с нуля, которая образует базу СС; 3)устанавливают взаимно однозначное соответствие между q-ичными цифрами и числами база СС. a_min=a₀=0; a_max=a_q-1=q-1.

(3)Способы представления чисел в ПСС

Любое произвольное число может быть записано в виде: A=a_n-1q^n-1+…+a₀q⁰+a_-1q^-1+…a_-mq^-m (1). Пользуясь взаимно однозначным соответствием между q-ичными числами и числами базы число А может ыбь сокращенно изображено q-ичной записью этого числа.

А_q=(a_n-1a_n-1…a₀a₁…a_-m)_q  (2), где a_n-1a_n-1…a₀ – целая часть, a₁…a_-m – дробная часть. Чтобы записать некоторое число А в выбранной q-ичной позиционной СС необходимо представить его в виде полинома (1), затем записать коэффициенты в виде полинома (2).

(4)Методика перевода чисел из одной СС в другую

(5)Алгоритм перевода целых десятичных чисел в другую ПСС

Рассмотрим формализованную процедуру перевода чисел из десятичной СС в некоторую произвольную СС с основанием q=S. Алгоритм перевода целых чисел из десятичной СС в СС с основанием S:1)основание новой СС S необходимо представить в его десятичном изображении; 2)разделить исходно целое число на основание S по правилам десятичной арифметики, в остатке получится некоторое число а₀ младшего разряда для искомой записи; 3)частное, полученное от деления на предыдущем шаге снова делится на основание, в остатке получается а, более младшего разряда; 4)выполнять п.3 до тех пор, пока частное не равно 0. a_n-1…a₁a₀; A_(10→S)=a_n-1a_n-2…a₁a₀.

(6)Алгоритм перевода дробных десятичных чисел в другую ПСС

Задана правильная десятичная дробь A₍₁₀₎^др<1. A^(S)_др=a_-1S^-1+…+a_-mS^-m. 1)основание S новой системы представить в ее десятичном изображении. 2)умножить исходную десятичную дробь на основание S (по правилам десятичной арифметики), при этом целая часть полученного произведения даст цифру старшего разряда. 3)дробную часть полученного произведения снова умножают на S (получим очередную цифру). 4)выполнять п.3 до тех пор пока точность искомого S представления исходной десятичной дроби окажется не хуже точности искомого десятичного представления.

(7)Перевод чисел из одной ПСС в другую при степенной зависимости оснований СС

1)смешанную десятичную дробь преобразуют в вариант числа с основанием S по частям. В случае, если основание q одной, системы связано с основанием S другой системы степенной зависимостью, то для перевода чисел из одной системы в другую никаких вычислений производить не требуется (q=S^k). А) k>0, тогда достаточно каждую цифру записи числа Аq заменить ее S эквивалентом длиной k разряд. Например: q=16, A₍₁₆₎=3BD. A(16)→A(2), q=16, S=2, k=4. A₂=0011 1011 1101. Б)k<0, в этом случае из ‌‌‌‌‌‌‌|k| в записи исходного числа Аq заменяют одной S-ичной цифрой.  Учитывая степенную связь между двоичной и шестнадцатеричной системами и простоту их взаимного преобразования в настоящее время в двоичную систему используют на машинном уровне, а шестнадцатеричную (а также восьмеричную) применяют как вспомогательную в программировании и в технической документации в силу большей лаконичности. Главное достоинство позиционной СС заключается в простоте выполнения арифметических операций, причем алгоритм выполнения этих операций в позиционных системах счисления унифицирован (т.е. не зависит от основания СС).

(8)Правила сложения двоичных чисел

Рассмотрим правило двоичного сложения, поскольку именно сложение двоичных чисел составляет основу алгоритмов всех операций над числами в ЦЭВМ. Пусть требуется найти результат сложения двух двоичных чисел А(2) и В(2). Результатом сложения будет набор 0 и 1. Ci – цифра i-того разряда. P_i+1 – величина переноса в старший (i+1) разряд.                                     Si=ai+bi+Pi. Следовательно, в каждой разрядной операции участвуют 3 цифры: ai и bi, т.е. цифры i-того разряда слагаемых и Pi – цифра переноса из предыдущего (i-1) разряда. Суммирование этих трех слагаемых выполняется в два этапа: сначала складываются цифры ai и Pi, а затем добавляют ai. При этом в начале операций задается значение P_-m=0 – перенос в младший разряд, а значение переносов в следующих разрядах получают по мере выполнения суммирования в каждом разряде.

(9)Формы представления чисел в ЭВМ

ЦЭВМ оперируют с изображением чисел конечной длины, т.к. ЭВМ имеют ограниченную длину разрядной схемы, что накладывает ограничение на диапазон и точность обрабатываемых числовых величин. В разрядах записана старшая цифра цифрового алфавита. При разработке ЭВМ и цифровых устройств конкурируют две взаимно противоположные тенденции, с одной стороны целесообразно уменьшать объем используемого оборудования, с другой стороны необходимо обеспечить достаточно высокую точность вычислений в широком диапазоне используемых данных, что сопряжено с увеличением разрядной сетки. Конкуренция указанных требований обусловила использование в ЦЭВМ двух форм представления чисел: когда предпочтительней иметь минимум оборудования используя представление чисел с фиксированной запятой (точкой); когда предпочтительней иметь высокую точность вычислений используют представление чисел с плавающей запятой (точкой). . Общее число значений в промежутке [0;Аф] и составляет величину: .