Другие предметы \ Теория автоматического управления

Дискретные преобразования и их основные свойства, страница 3

Теорема смещения является теоремой двойственности для теоремы сдвига. В этих теоремах операции в области оригиналов и изображений поменялись местами.

Пример 3. Найдем изображение решетчатой функции f[n] = e^lⁿsh an

Воспользовавшись изображением sh an, получаем на основании теоремы смещения:

Теорема 3. Изображение разностей.

Для первой разности решетчатой функции

Δf[n] = f[n+1] – f[n]

на основании теорем линейности и сдвига получаем

D{Δf[n]} = (e^q – 1)F*(q) - e^qf[0] (3.15)

Для второй разности решетчатой функции

Δ²f[n] = Δf[n+1] – Δf[n]

На основании теоремы сдвига и соотношения (3.15) после преобразования получаем

D{Δ²f[n]} = (e^q – 1)²F*(q) - e^q(e^q -1)f[0] - e^q Δf[0] (3.16)

Для k-ой разности решетчатой функции получается следующее выражение:

k-1

D{ Δ^kf[n]} = (e^q – 1)^k F*(q) + e^q Σ (e^q – 1)^k^-1-^r Δ^rf[0] (3.17) r=1

Здесь нужно считать Δ⁰f[0] = f[0].

Пример 4. Найдем изображение первой разности экспоненциальной решетчатой функции f[n] = e^aⁿ. По формуле (3.15) получаем:

e^q e^q(e^a – 1)

D{De^aⁿ} = (e^q –1) ———— - e^-q = ————.

e^q – e^ae^q – e^a

Теорема 4. Изображение суммы

Рассмотрим функцию, определяющую сумму решетчатой функции:

n-1

f[n] = Σ f[m]

m=0

Изображение разности функции f[n] в соответствии с предыдущей теоремой равно:

n-1 n-1

D{D Σ f[m] } = D{f[n]} = (e^q -1) D{D Σ f[m] },

m=0 m=0

так как значение суммы при n = 0 равно нулю. Следовательно, изображение от суммы решетчатой функции f[m] определяется как

n-1 F*(q)

D{DΣ f[m] } = ———. (3.18)

m=0 e^q – 1

Пример 5. Найдем оригинал, соответствующий изображению

e^q

F*(q) = ———————.

(e^q – 1)(e^q – e^a)

замечая, что

e^q

F*(q) = ——— = D{ e^aⁿ},

(e^q – e^a)

находим согласно теореме о сумме решетчатой функции

F*(q) n-1

——— = D{Σ e^a^m }.

e^q – 1 m=0

Но

n-1 e^aⁿ -1

Σ e^a^m = ——— ,

m=0 e^a -1

следовательно,

e^q 1 - e^aⁿ

F*(q) = ——————— = D{ ——— }.

(e^q – 1)(e^q – e^a) 1 - e^a

Найденная решетчатая функция показана на рис. 3.4 для a = -0,5 и a = 0,5.

Рис. 3.4. Решетчатая функция в примере 5.

Примеры применения теорем об изображении разностей и сумм показывают, что множитель (е^q— 1) в дискретном преобразовании Лапласа играет роль параметра преобразования q или s в обычном преобразовании Лапласа, и устанавливают связь формального операторного метода в теории разностных уравнений с дискретным преобразованием Лапласа.

Эти свойства наряду с теоремой сдвига лежат в основе метода решения линейных разностных уравнений.

Теорема 5. Умножение изображений (теорема свертывания в вещественной области).

Эта теорема является одной из наиболее важных для приложений теорем. Она дает возможность найти оригинал произведения изображений, если известны оригиналы сомножителей.

Пусть

Образуем произведение

Произведя перемножение рядов в правой части равенства при Re q > s_c, где s_c - наибольшая из абсцисс сходимости, получим:

так как при n < m решетчатые функции равны нулю.

Согласно определению D-преобразования получаем

(3.19)

Эти формулы называются формулами свертывания в вещественной области.

Теорема 6. Конечное значение решетчатой функции (теорема о конечном значении). Теорема устанавливает соотношение между изображением и конечным значением решетчатой функции.

Для несмещенной решетчатой функции справедливо следующее соотношение:

lim f[n] = lim (e^q – 1)F*(q). (3.20)

n": q"0

аналогично для смещенной решетчатой функции:

lim f[n,e] = lim (e^q – 1)F*(q,e). (3.21)

n": q"0

Пример 6.