АФЧХ разомкнутой и замкнутой системы. Определение устойчивости системы. Определение запаса устойчивости по амплитуде и по фазе

Анализ линейной САУ.

По заданной структурной схеме системы управления вычислить эквивалентную передаточную функцию разомкнутой и замкнутой системы. Построить АФЧХ разомкнутой и замкнутой системы. Исследовать устойчивость по одному из критериев. Определить запасы устойчивости системы по амплитуде и по фазе. Построить переходный процесс системы методом трапеций, по переходному процессу провести анализ качества управления и определить все его показатели. При необходимости дать рекомендации методов улучшения этих параметров.

 

x_вх                                                                              x_вых

 

Рис. 1 – Структурная схема

Исходные данные:

Kс = 0.58;	Td = 0.29;	Ce = 0.033;
KU = 0,48;	Tm = 0.086;	jp = 200.
K0 = 184;	T0 = 0.94;

АФЧХ разомкнутой и замкнутой системы.

Вычислим эквивалентную передаточную функцию разомкнутой и замкнутой системы.

Обозначим  передаточные функции звеньев:

Вычислим передаточные функции для последовательного и параллельного соединения звеньев:

С учётом введённых обозначений передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:

Упростим данное выражение

подставим значения коэфицентов в выражение для Wr(p):

Построим АФЧХ, для этого заменим p = jw

Преобразуем это выражение с учётом того, что   :

 

Выделим вещественную и мнимую часть

Выделим и упростим вещественную, мнимую части:

Wr(jω)=U(ω)+jV(ω)

График АФЧХ разомкнутой системы представлен на рис.1, см. Приложение 1. На рис.2, приложения 1, представлен график АФЧХ разомкнутой системы в вблизи точки (0;j0).

Передаточная функция замкнутой системы имеет вид:

Упростим выражение и подставим значения коэфицентов:

;

Построим АФЧХ, для этого заменим p = jw

;

Преобразуем выражение и выделим вещественную и мнимую часть

График АФЧХ замкнутой системы представлен на рис. 3, см. Приложение 1. На рис. 4, Приложения 1, представлен график АФЧХ в вблизи точки (0;j0).

Определение устойчивости системы.

Для определения устойчивости системы воспользуемся критерием Гурвица.

Критерий Гурвица: для того чтобы система управления была устойчива необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство а₀ > 0, а все определители Гурвица были  положительными.

Характеристическое уравнение имеет вид:

или

введем обозначение

с₀ = b₁;

c₁ = b₂;

c₂ = b₃;

c₃ = a₁T₀+1;

c₄ = a₁.

Условие устойчивости с₀ >0; с₁ >0; с₂ >0; с₃ >0; с₄ >0.

Определим определители Гурвица

c₀ = 0.039 > 0;

c₁ = 0.381 > 0;

c₂ = 50.501 > 0;

c₃ = 9.194 > 0;

c₄ = 14.128 > 0;

= 0.381

= 18.888

= 171.616

= 2425

Как видно из результатов, система по Гурвицу устойчива.

Используем графический метод Михайлова для определения устойчивости

Заменим p на jw в выражении D(p)

выделим реальную и мнимую часть

Система будет устойчивой, если при возрастании частоты w от 0 до ¥ вектор D(jw) повернется на угол , где n – степень уравнения D(p) = 0, или, что то же самое, если характеристическая кривая при изменении частоты w от 0 до ¥, начиная с положительной действительной оси, обходит последовательно в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки n квадрантов.

На рис. 2 приведена характеристическая кривая. Степень уравнения D(p) = 0 равна n = 4, как видно из рисунка характеристическая кривая последовательно проходит 4 квадранта и в 4 квадранте уходит в бесконечность, что соответствует устойчивой системе.

Рис. 2а – Характеристическая кривая. Область вблизи точки (0; j0)

Рис. 2б.

Используя два критерия устойчивости, критерий Гурвица и критерий Михайлова, определили, что система является устойчивой.

Определение запаса устойчивости по амплитуде и по фазе.

Для этого построим ЛАХЧ и ФЧХ

;

Подставим численные значения

На рис. 5, Приложения 1, представлена ЛАЧХ характеристика.

ФЧХ определяется по следующей формуле

;

На рис. 6, Приложения 1, представлен график ФЧХ.

Из данного графика определим запасы устойчивости по амплитуде и по фазе

w = 0,7446 при данной частоте L(w) = 0;

Запас по фазе равен j = -48,868°

w = 35,551 при данной частоте j = -180°

Запас по амплитуде равен L(w) = 20 log (h) = -35.259 Þ h = 0.017

Переходный процесс.

Построим переходный процесс методом трапеции.

Для этого построим график вещественной частотной характеристики

4

3

2

1

 

Рис. 3.

Разобьем вещественную частотную характеристику на трапециевидные частотные характеристики. Параметры трапеций занесем в таблицу.

Таблица №1

Трапеция	Параметры трапеции
	ro	wd	wn	c
1	-1,2	0,25	0,45	0,56
2	3	0,45	0,6	0,75
3	-0,6	0,65	1,1	0,59
4	-0,2	1,1	5	0,22

Значения составляющих кривой переходного процесса. Таблица №2