АФЧХ разомкнутой и замкнутой системы. Определение устойчивости системы. Определение запаса устойчивости по амплитуде и по фазе

Страницы работы

11 страниц (Word-файл)

Содержание работы

Анализ линейной САУ.

По заданной структурной схеме системы управления вычислить эквивалентную передаточную функцию разомкнутой и замкнутой системы. Построить АФЧХ разомкнутой и замкнутой системы. Исследовать устойчивость по одному из критериев. Определить запасы устойчивости системы по амплитуде и по фазе. Построить переходный процесс системы методом трапеций, по переходному процессу провести анализ качества управления и определить все его показатели. При необходимости дать рекомендации методов улучшения этих параметров.

 

 
 


xвх                                                                              xвых

 


Рис. 1 – Структурная схема

Исходные данные:

Kс = 0.58;

Td = 0.29;

Ce = 0.033;

KU = 0,48;

Tm = 0.086;

jp = 200.

K0 = 184;

T0 = 0.94;

АФЧХ разомкнутой и замкнутой системы.

Вычислим эквивалентную передаточную функцию разомкнутой и замкнутой системы.

Обозначим  передаточные функции звеньев:

Вычислим передаточные функции для последовательного и параллельного соединения звеньев:

С учётом введённых обозначений передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:

Упростим данное выражение

подставим значения коэфицентов в выражение для Wr(p):

Построим АФЧХ, для этого заменим p = jw

Преобразуем это выражение с учётом того, что   :

 

Выделим вещественную и мнимую часть

Выделим и упростим вещественную, мнимую части:

Wr(jω)=U(ω)+jV(ω)

График АФЧХ разомкнутой системы представлен на рис.1, см. Приложение 1. На рис.2, приложения 1, представлен график АФЧХ разомкнутой системы в вблизи точки (0;j0).

Передаточная функция замкнутой системы имеет вид:

Упростим выражение и подставим значения коэфицентов:

;

Построим АФЧХ, для этого заменим p = jw

;

Преобразуем выражение и выделим вещественную и мнимую часть

График АФЧХ замкнутой системы представлен на рис. 3, см. Приложение 1. На рис. 4, Приложения 1, представлен график АФЧХ в вблизи точки (0;j0).

Определение устойчивости системы.

Для определения устойчивости системы воспользуемся критерием Гурвица.

Критерий Гурвица: для того чтобы система управления была устойчива необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство а0 > 0, а все определители Гурвица были  положительными.

Характеристическое уравнение имеет вид:

или

введем обозначение

с0 = b1;

c1 = b2;

c2 = b3;

c3 = a1T0+1;

c4 = a1.

Условие устойчивости с0 >0; с1 >0; с2 >0; с3 >0; с4 >0.

Определим определители Гурвица

c0 = 0.039 > 0;

c1 = 0.381 > 0;

c2 = 50.501 > 0;

c3 = 9.194 > 0;

c4 = 14.128 > 0;

= 0.381

= 18.888

= 171.616

= 2425

Как видно из результатов, система по Гурвицу устойчива.

Используем графический метод Михайлова для определения устойчивости

Заменим p на jw в выражении D(p)

выделим реальную и мнимую часть

Система будет устойчивой, если при возрастании частоты w от 0 до ¥ вектор D(jw) повернется на угол , где n – степень уравнения D(p) = 0, или, что то же самое, если характеристическая кривая при изменении частоты w от 0 до ¥, начиная с положительной действительной оси, обходит последовательно в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки n квадрантов.

На рис. 2 приведена характеристическая кривая. Степень уравнения D(p) = 0 равна n = 4, как видно из рисунка характеристическая кривая последовательно проходит 4 квадранта и в 4 квадранте уходит в бесконечность, что соответствует устойчивой системе.

Рис. 2а – Характеристическая кривая. Область вблизи точки (0; j0)

Рис. 2б.

Используя два критерия устойчивости, критерий Гурвица и критерий Михайлова, определили, что система является устойчивой.


Определение запаса устойчивости по амплитуде и по фазе.

Для этого построим ЛАХЧ и ФЧХ

;

Подставим численные значения

На рис. 5, Приложения 1, представлена ЛАЧХ характеристика.

ФЧХ определяется по следующей формуле

;

На рис. 6, Приложения 1, представлен график ФЧХ.

Из данного графика определим запасы устойчивости по амплитуде и по фазе

w = 0,7446 при данной частоте L(w) = 0;

Запас по фазе равен j = -48,868°

w = 35,551 при данной частоте j = -180°

Запас по амплитуде равен L(w) = 20 log (h) = -35.259 Þ h = 0.017

Переходный процесс.

Построим переходный процесс методом трапеции.

Для этого построим график вещественной частотной характеристики

4

 

3

 

2

 

1

 
 

Рис. 3.

Разобьем вещественную частотную характеристику на трапециевидные частотные характеристики. Параметры трапеций занесем в таблицу.

Таблица №1

Трапеция

Параметры трапеции

ro

wd

wn

c

1

-1,2

0,25

0,45

0,56

2

3

0,45

0,6

0,75

3

-0,6

0,65

1,1

0,59

4

-0,2

1,1

5

0,22


Значения составляющих кривой переходного процесса. Таблица №2

Похожие материалы

Информация о работе