Анализ и синтез замкнутой системы автоматического управления, страница 4

w

0

0,01

0,03

0,06

0,07

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,4

0,5

j(w)

0

-0,322

-0,984

-1,805

-1,989

-2,36

-2,708

-2,953

-3,174

-3,391

-3,834

-4,291

Рис.15 Фазо-частотная характеристика по каналу возмущения 3

В режиме гармонических колебаний  присутствуют отрицательные фазовые сдвиги из-за составляющей колебательного звена и звена транспортного запаздывания. А так как еще есть и составляющая пропорционально-дифференциального звена, то могут быть  положительные фазовые сдвиги, но они не проявились из-за того, что коэффициенты пропорционально-дифференциального звена небольшие, т.е. его влияние слабее влияния колебательного звена и звена транспортного запаздывания.

- построение амплитудно-фазовой характеристики

Для получения амплитудно-фазовой характеристики необходимо найти вещественную и мнимую частотные характеристики.

Расчетные данные для построения АФХ в Таблице 16

Таблица 16

w

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,06

0,07

0,08

0,1

0,2

4

Re(w)

1

0,94

0,76

0,49

0,206

-0,123

-0,177

-0,193

-0,181

-0,085

-0,003

Im(w)

0

-0,313

-0,577

-0,73

-0,739

-0,516

-0,397

-0,303

-0,179

-0,016

-0,001

 Рис.16  Амплитудно-фазовая характеристика по каналу возмущения 3

Этап 2. Синтез замкнутой САУ с ПИ-регулятором

на заданную степень колебательности m=0.221

2.1 Расширенные частотные характеристики объекта управления по каналу регулирования.

Синтез замкнутой САУ осуществляется методом расширенных частотных характеристик.

Для определения расширенных частотных характеристик объекта по каналу регулирования необходимо в передаточной функции объекта сделать подстановку: p=-m·w+j·w, где m=0.221-заданная степень колебательности системы:

Передаточная  функция  по  каналу  регулирования  имеет  вид:

-расширенная амплитудно-частотная характеристика объекта по каналу регулирования

Выражение для расширенной амплитудно-частотной характеристики найдем как отношение модулей числителя и знаменателя:

Расчетные данные для построения РАЧХ в Таблице 17. Расширенная АЧХ проходит выше обыкновенной АЧХ.                                                          

Таблица 17

w

0

0,005

0,01

0,03

0,04

0,05

0,1

0,2

0,3

0,5

1

A(m,w)

1,5

1,532

1,555

1,543

1,482

1,399

0,936

0,428

0,232

0,098

0,031

A(w)

1,5

1,48

1,452

1,274

1,164

1,053

0,609

0,225

0,099

0,027

0,002

Рис.17 Расширенная амплитудно-частотная характеристика по каналу регулирования

-расширенная фазо-частотная характеристика объекта по каналу регулирования

Выражение для расширенной фазо-частотной характеристики найдем как разность аргументов числителя и знаменателя:

 

Функция  имеет две точки разрыва, в которых функция arctg изменяется с p/2 до -p/2, однако нас интересует поведение функции при положительном значении частоты ω. Чтобы найти эти точки, необходимо приравнять знаменатель функции к нулю.                

Для обеспечения непрерывности графика РАФХ необходимо прибавить период, равный -p:

 при

 при

Расчетные данные для построения РФЧХ в Таблице 18. Расширенная ФЧХ проходит ниже обыкновенной ФЧХ.

Таблица 18

w

0

0,005

0,01

0,03

0,07

0,1

0,3

0,7

1

3

j(m,w)

0

-0,111

-0,224

-0,677

-1,442

-2,383

-3,321

-4,602

-5,316

-9,491

j(w)

0

-0,11

-0,219

-0,632

-1,286

-1,646

-2,935

-4,168

-4,878

-9,053

Рис.18 Расширенная фазо-частотная характеристика по каналу регулирования

2.2 Построение кривой равной степени колебательности m=0,221

Для реализации задачи синтеза САУ необходимо в плоскости настроек ПИ – регулятора построить кривую равной степени колебательности и на ней выбрать точку, соответствующую минимуму квадратичной интегральной оценки качества. Эта точка обычно находится при wопт = 1.3 . wmax , где wmax – значение частоты w  в максимуме графика S0(S1).

Чтобы заданная система имела переходный процесс с заданной степенью колебательности m нужно, чтобы РАФХ заданной системы проходила через точку с координатами (-1, j·0), т.е.:

При этом степень колебательности будет равна m. Из этих условий найдем настройки пропорционально-интегрального регулятора. Для этого в передаточной функции регулятора сделаем  подстановку: p=-m·w+j·w,:

 

Представим передаточную функцию объекта в показательном виде:

Используя уравнение Эйлера, получим:

Поскольку передаточную функцию разомкнутой системы можно представить в виде произведения передаточных функций объекта и регулятора , следовательно, передаточную функцию разомкнутой системы можно также представить в показательном виде. В свою очередь, условия устойчивости  по критерию Найквиста представим в показательной форме, то есть мы можем составить систему из двух уравнений:

Можно получить область, где находятся значения настроечных параметров S0, S1, w.

Решая систему уравнений найдем настройки пропорционально-интегрального регулятора

Решение этой системы для S0, S1 :

Используя полученные уравнения настроек регулятора, и задавая различные значениям w, получим кривую заданной степени колебательности m=0,221: