Анализ и синтез замкнутой системы автоматического управления, страница 10

Расширенная фазо-частотная характеристика объекта по каналу регулирования

Выражение для расширенной фазо-частотной характеристики найдем как разность аргументов числителя и знаменателя:

 

Функция  имеет две точки разрыва, в которых функция arctg изменяется с p/2 до -p/2, однако нас интересует поведение функции при положительном значении частоты ω. Чтобы найти эти точки, необходимо приравнять знаменатель функции к нулю.

Для обеспечения непрерывности графика РАФХ необходимо прибавить период, равный -p:

 при

 при

Расчетные данные для построения РФЧХ в Таблице 43. Расширенная ФЧХ проходит ниже обыкновенной ФЧХ.

Таблица 43

w

0

0,005

0,01

0,03

0,07

0,1

0,3

0,7

1

3

j(m,w)

0

-0,101

-0,204

-0,617

-1,302

-2,083

-2,721

-3,202

-3,316

-3,491

Рис.45 Расширенная фазо-частотная характеристика по каналу регулирования со степенью колебательности m=0,221 и без запаздывания.

2.2.   Построение кривой равной степени колебательности m=0,221 для объекта без запаздывания и выбор оптимальных, левых и правых настроечных параметров регулятора.

Для реализации задачи синтеза САУ необходимо в плоскости настроек ПИ – регулятора построить кривую равной степени колебательности и на ней выбрать точку, соответствующую минимуму квадратичной интегральной оценки качества. Эта точка обычно находится при wопт = 1.3 . wmax , где wmax – значение частоты w  в максимуме графика S0(S1).

Чтобы заданная система имела переходный процесс с заданной степенью колебательности m нужно, чтобы РАФХ заданной системы проходила через точку с координатами (-1, j·0), т.е.:

При этом степень колебательности будет равна m. Из этих условий найдем настройки пропорционально-интегрального регулятора. Для этого в передаточной функции регулятора сделаем  подстановку: p=-m·w+j·w,:

 

Представим передаточную функцию объекта в показательном виде:

Используя уравнение Эйлера, получим:

Поскольку передаточную функцию разомкнутой системы можно представить в виде произведения передаточных функций объекта и регулятора , следовательно, передаточную функцию разомкнутой системы можно также представить в показательном виде. В свою очередь, условия устойчивости  по критерию Найквиста представим в показательной форме, то есть мы можем составить систему из двух уравнений:

Можно получить область, где находятся значения настроечных параметров S0, S1, w.

Решая систему уравнений, найдем настройки пропорционально-интегрального регулятора

Решение этой системы для S0, S1 :

Используя полученные уравнения настроек регулятора, и задавая различные значениям w, получим кривую заданной степени колебательности m=0,221:

Расчетные данные для построения кривой равной степени колебательности в Таблице 44

Таблица 44

w max

w лев

w опт

w прав

w

0

0,03

0,05

0,1

0,2

0,39829

0,45

0,48438

0,51777

0,54937

0,55

0,6

S1

-0,667

-0,451

-0,265

0,349

2,219

8,45

10,627

12,2

13,825

15,45

15,484

18,232

S0

0

0,012

0,032

0,117

0,374

0,754

0,72

0,647

0,532

0,377

0,374

0,028

Рис.46  Кривая равной степени колебательности m=0,221 и без запаздывания

Так как объект по каналу регулирования является статическим, то кривая равной степени колебательности выходит из отрицательной области настройки S1.

Оптимальные настройки ПИ-регулятора, обеспечивающие при заданной степени колебательности  минимизацию квадратичной интегральной оценки переходного процесса в замкнутой системе, определяются как координаты точки, лежащей на правой ветви кривой S0-S1 вблизи ее вершины. Найти положение этой точки без расчета квадратичной интегральной оценки можно, используя  знания о том, что в точке с оптимальными настройками значение частоты составляет примерно  на (20—30)%   больше   частоты в точке максимума кривой S0-S1.

 Согласно графику:

  wmax = 0,39829   =>    wопт = 1.3wmax = 1.3·0,39829 = 0,51777

Находим  оптимальные  настройки ПИ-регулятора:

S0опт = S0(m,wопт) = 0,532

     S1опт = S1(m,wопт) = 13,825

w лев = 0,0,48438

S0лев = S0(m,wлев) = 0,647

S1лев = S1(m,wлев) = 12,2

w прав = 0,54937

S0прав = S0(m,wправ) = 0,377

S1прав = S1(m,wправ) = 15,45

Этап 3. Анализ замкнутой САУ с тремя парами настройками регулятора.

3.1 Построение амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы и определение запаса устойчивости системы по модулю и по фазе

Передаточную функцию разомкнутой системы можно представить в виде произведения передаточных функций объекта и регулятора:

Для построения АФХ разомкнутой системы необходимо знать АФХ используемого регулятора. Поскольку мы рассчитываем систему с ПИ – регулятором, то сначала рассчитаем его частотные характеристики.

Для получения вещественной и мнимой частотных характеристик разомкнутой системы надо числитель и знаменатель выражения частотной передаточной функции помножить на число, сопряженное со знаменателем и упростить полученное выражение. Как было найдено ранее вещественная и мнимая характеристики разомкнутой системы при учете τ=0 выражаются:

Используя полученные уравнения вещественной и мнимой частотных характеристик, и задаваясь различными значениями w, получим амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой системы. Определим запас устойчивости по модулю и фазе.

Рис.47.  АФХ разомкнутой системы с оптимальными настройками иt =0

При оптимальных настройках: H=1, g =24°74'

Для нахождения амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы для левых настроек ПИ-регулятора выполним последовательность вычислений, аналогично приведенным выше.

Рис.48.  АФХ разомкнутой системы с настройками, расположенными левее оптимальных, и t =0

При настройках левее оптимальных: H=1, g =24°53'