Мультимедійний курс лекцій з опору матеріалів, страница 35

y

M

M

З малюнка видно, що кут зсуву елемента, виділеного на поверхні бруса, відбувається не тільки за рахунок нахилу твірних, а й за рахунок нахилу сторін, що лежать у поперечних перерізах:

x

z

w =w (x,y)

При обчисленні дотичних напружень у кутових точках за формулою, виведеною при використанні гіпотези плоских перерізів (круглі перерізи), в кутах прямокутного перерізу повинні виходити максимальні дотичні напруження (ρ = ρ max), а насправді в цих точках прямий кут залишається прямим і дотичні напруження дорівнюють нулю.

Таким чином гіпотезу плоских перерізів неможливо застосувати і задача кручення прямокутного стрижня не може бути вирішена в рамках припущень, що приймаються в опорі матеріалів. Точне рішення такої задачі розглядається в курсі теорії пружності Наведемо деякі основні результати вирішення методами теорії пружності задачі кручення стрижнів прямокутної форми:

Мембранна аналогія - дозволяє встановити якісну картину розподілу дотичних напружень. У теорії пружності доводиться, що повне дотичне напруження пропорційно тангенсу кута нахилу дотичної до поверхні ідеальної гнучкої мембрани, натягнутої на контур перерізу, рівномірно розтягнутої в усіх напрямках і навантаженої постійно розподіленим поперечним навантаженням. Певне уявлення про таку мембрану дає мильна плівка, що видувається на дротяний контур.

1. Найбільші дотичні напруження – виникають у середніх точках (1) довгих сторін прямокутного контуру. Вони можуть бути представлені у вигляді, подібному у раніш отриманій формулі:

Тут момент опору при крученні обчислюється за допомогою табличного коефіцієнта, що залежить від співвідношення довжин сторін (b / d):

Поперечне навантаження, наприклад, тиск повітря (дуття), викликає прогини поверхні. Перерізи поверхні горизонтальними площинами дають лінії рівних прогинів (горизонталі), відстані між якими обернено пропорційні тангенсу кута нахилу дотичної і, отже, величиною дотичних напружень. Напрямок вектора дотичних напружень збігається з дотичними до горизонталей.

2

2. У середніх точках (2) коротких сторін прямокутного контуру, виникають дещо менші дотичні напруження. Вони визначаються через максимальні виразом:

1

1

3. Кут закручування Визначається виразом: де

За допомогою мембранної аналогії можна якісно передбачити положення точок, в яких виникають максимальні дотичні напруження (згущення горизонталей) і мінімальні (нульові). На малюнку зображені (з технічних причин) еліпси, насправді при наближенні до контуру повинні бути деякі овали. Проте можна побачити, що в кутах прямокутного контуру дотичні напруження повинні перетворюватися в нуль.

2



4. У кутах перерізу дотичні напруження дорівнюють нулю.

68

Лекція 17

• Розрахунок циліндричних гвинтових пружин з малим кутом нахилу

- умова міцності.

Якщо пружина із тонкої проволки має досить великий діаметр в порівнянні із товщиною дроту, то добавкою за рахунок сил зсуву нехтують і максимальне дотичне напруження:

69

Лекція 17 (продовження – 17.2)

- усадка пружини.

- умова жорсткості.

70

Лекція 18

• Статично невизначені системи при розтязі-стиску. У статично невизначених системах число накладених зв'язків більше числа незалежних рівнянь рівноваги. Як зазначалося вище, такі завдання вирішуються послідовним розглядом статичної, геометричної і фізичної сторін, в результаті чого виходить повна система рівнянь, що дозволяє знайти шукані зусилля. Загальний порядок вирішення визначається вищесказаним, конкретні кроки і особливості розглянемо на прикладах:
• Приклад 1. Стержень змінного перерізу (2A і A) жорстко закріплений з двох сторін і навантажений поздовжньою силою. Побудувати епюри N та σ.

1. Вибираємо об'єкт рівноваги, відкидаємо зв'язки і замінюємо їх дію реакціями:

RA

RB

2. Статика : Складаємо рівняння рівноваги :

Це єдине рівняння рівноваги, яке можна скласти для лінійної системи сил. Отже система один раз статично невизначена.