Мультимедійний курс лекцій з опору матеріалів, страница 18

31

Лекція 9 (продовження – 9.3)

2

• Плоский напружений стан – такий стан, при якому дві паралельні грані елементу вільні від напружень, тобто на них відсутні і нормальні, і дотичні напруження. Такий стан виникає в тонких пластинках, поверхні яких вільні від навантаження, на ненавантаженій поверхні тіл, при згині балок, крученні валів тощо.

Розглянемо нескінченно малий об’єм у вигляді паралелепіпеда навколо досліджуваної точки А.

Нижче буде показано, що в цьому випадку напруження zx і zу також будуть відсутні.

Нехай, наприклад, по площадці, перпендикулярній вісі z напруження відсутні.

Тепер об’ємний елемент можна представити у вигляді його проекції на площину ху. На рисунку показані додатні напрямки напружень, що відповідають наступним правилам: 1. додатні нормальні напруження направлені в сторону зовнішньої нормалі відповідної грані, тобто вони викликають деформації розтягу елементу; 2. додатні дотичні напруження повертають елемент по годинниковій стрілці (назустріч осі z).

dy

У загальному випадку, напруження в деформованому стані змінюються від точки до точки, тобто являються функціями координат. Тут при розгляді нескінченно малого елементу можна вважати, що напружений стан однорідний і напруження по кожній грані постійні і на паралельних гранях елементу рівні між собою. Виділений елемент повинен знаходиться у рівновазі та задовольняти рівнянням рівноваги для будь-якої плоскої системи сил – рівнодіючої по кожній із граней прикладених зусиль: - суми проекцій на координатні осі тотожно рівні нулю. Складемо суму моментів всіх сил відносно лівого нижнього кута (точки А):

dx

A

Отриманий закон парності дотичних напружень: Дотичні напруження на двох взаємно перпендикулярних площадках рівні один одному по величині та протилежні по знаку.

Таким чином, показані напрямки дотичних напружень на рисунку, присвячених правилам знаків, не відповідають стану рівноваги елементу. Можливі правильні напрямки дотичних напружень будуть наступні:

32

Лекція 10

3

• Напруження на похилих площадках.
• Для визначення напружень на похилій площадці, зовнішня нормаль якої повернута
• на кут α до осі х, використовуємо метод перерізів:

1. проведемо похилий переріз;

2. відкинемо праву частину;

n



3. замінимо відкинуту частину внутрішніми зусиллями, які представимо у вигляді компонент напружень – нормального та дотичного (на рисунку всі напруження показані додатними);

σ

dy



t

4. складемо рівняння рівноваги для рівнодіючих напружень в проекціях на нормаль n до похилого перерізу та вісь, дотичну t до перерізу:



dz

dy.tg

Після ділення рівнянь на dydz, множення на cos, підстановки закону парності дотичних напружень та переносу у праву частину відомих напружень, отримаємо:

Або використовуючи відомі тригонометричні формули подвійного кута:

Отримані формули для визначення напружень на будь-яких площадках, що проходять через дану точку, якщо відомі напруження x, y і yx = - xy. Визначимо, які будуть напруження на площадці, перпендикулярній до розглядуваної похилої площадки:

Із порівняння виразів для дотичних напружень знову можна отримати закон парності дотичних напружень:  +900 = - .

Додаючи вирази для нормальних напружень, отримуємо закон незмінності суми нормальних напружень на будь-яких взаємно-перпендикулярних площадках:

Із незмінності суми нормальних напружень слідує, що при повороті цих площадок приріст (зміна) нормальних напружень однакові і протилежні за знаком:

Відповідно, якщо на одній із площадок нормальні напруження досягають максимуму, то на другій площадці вони перетворюються в мінімальні.

33

Лекція 10 (продовження – 10.2)

4

• Головні напруження. При розрахунку конструкцій на міцність необхідно визначати величину максимальних напружень. Максимальні та мінімальні нормальні напруження називаються головними напруженнями, а площадки, на яких вони діють – головними площадками.
• Для визначення положення головних площадок достатньо прирівняти до нуля першу похідну нормальних напружень по куту нахилу площадок: