Математика \ Математика

Элементы математической логики. Нормальные виды формул. Совершенные нормальные формы, страница 10

Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых может появиться или не появиться событие . Появление события в одном испытании называется успехом, не появление – неуспехом. Вероятность появления события в одном испытании - , а вероятность неуспеха - . Найти вероятность того, что событие в испытаниях появиться ровно раз.

Вероятность одного сложного события заключающегося в том, что в испытаниях событие наступит раз, и не наступит раз, по теореме умножения независимых событий равна:

Число сложных событий есть число сочетаний , и они не совместны. Тогда вероятность наступления события раз.

- формула Бернулли.

Пример: Вероятность перерасхода энергии в течение суток 0,2. Найти вероятность того, что в течении ближайшей недели перерасход наступит в течении двух суток.

Наивероятнейшее число успехов в последовательности независимых испытаний.

Пусть , .

Исследуем как функцию от аргумента . Для этого выпишем:

Т.е. функция возрастает при переходе от к , если , и убывает, если , а также остается неизменной, если . Следовательно, наивероятнейшее число успехов должно удовлетворять неравенству:

, т.к. , то:

Если число целое, то наивероятнейшее число может иметь два значения: и . Если же − дробь, то вероятность не возрастает не при каких и вероятнее всего, что в испытаний не будет ни одного успеха.

Пример: Испытываются 15 элементов некоторого устройства. Вероятность, того что элемент выдержит испытание 0,9. Найти наивероятнейшее число элементов выдержавших испытание и соответствующую вероятность.

; ; .

Вероятнее всего 14 элементов выдержат испытание.

Локальная теорема Лапласа:

Если вероятность появления событий в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1,то:

, где

Замечание: Функция затабулирована и является четной функцией.

Пример: Найти вероятность того, что событие наступит 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления события в одном испытании 0,2.

; ; ; .

Интегральная теорема Лапласа.

Производится независимых испытаний. Найти вероятность того, что событие появится не менее и не более раз, если вероятность появления события в одном испытании постоянно и равно .

Теорема: Если вероятность появления события в каждом испытании постоянно и отлично от 0 и 1, то:

; ;

Пример: Вероятность того, что деталь бракованная – 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 просматриваемых деталей бракованными окажутся от 70 до 100 деталей.

; ; ; ;

Формула Пуассона.

Постановка задачи: Найти вероятность того, что при очень большом числе испытаний, в каждом из которых вероятность появления события очень мала, если событие наступит ровно раз.

-велико; - мало.

− формула Пуассона.

Пример: Завод отправил 2000 изделий. Вероятность повреждения изучения в пути равно 0,001. Найти вероятность того, что на базу прибудут ровно три бракованных изделия.

; ; ;

Случайные величины.

Определение: Случайной называется величина, которая в результате испытаний принимает одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящая от случайных величин.

Определение: Числовая функция, определенная на называется случайной величиной .

Каждому элементарному событию ставится в соответствии число , т.е. если в результате испытаний появляется элементарное событие , то случайная величина принимает значение .