Методы оптимизации в металлургии: Методические указания к выполнению курсовой работы, страница 7

Кроме этого, критерием прекращения движение вдоль оси x₁ в направлении возрастания (убывания) параметра оптимизации является не выполнения ограничений на значения параметра x₁.

5.Достигнутая точка с максимальным значением параметра оптимизации является исходной для организации 2-го рабочего цикла, который осуществляется в направлении оси х₂. Последний  организуется аналогичным образом и заканчивается достижением частного оптимума вдоль этой оси. После этого необходимо осуществить 3-й рабочий цикл вдоль оси х3 и т.д.

6.После завершения k-го рабочего цикла вдоль оси х_k необходимо перейти к (k+1)-му циклу, который осуществляет движение вдоль оси х_k‑1, затем к (k+2)-му циклу вдоль оси х_k-2 и т. д. Поиск прекращается в точке, любое движение из которой приводит к уменьшению (или увеличению при поиске минимума) значения параметра оптимизации.

Иногда, стремясь ускорить сходимость метода, величину  подбирают так, чтобы при переходе от х_k к х_k+1 вдоль направления спуска (или подъема) обеспечивалось наибольшее (возможное) возрастание (убывание) целевой функции. Другими словами,  находят из условия минимума функции  одной переменной :

Характерной особенностью метода является необходимость продолжительной стабилизации всех изучаемых переменных, кроме одной по которой происходит движение. Таким образом, в методе покоординатного поиска, движение происходит по ломаной, состоящей из отрезков прямых, параллельных координатным осям (рис.4.).

Поиск по направлениям, совпадающим с координатными осями, можно проводить любым известным методом одномерной оптимизации, например, методом золотого сечения или обратного переменного шага. Таким образом, задача сводится к многократному использованию метода одномерной оптимизации. Очередность варьирования переменных обычно устанавливается произвольно и в процессе поиска не меняется.

Рассмотрим реализацию метода покоординатного поиска для оптимизации механических свойств алюминиевого сплава [3] с вышеизложенными ограничениями на химический состав (2) и на механические свойства сплава (5) .

Переведем уравнение прочности (3) из кодированного вида в натуральный вид с учетом зависимости (4):

В качестве начальной точки возьмем точку с координатами:

Х _1,0 = 5; Х _2,0 = 2, 5; Х _3,0 = 0, 5; Х _4,0 = 0, 5.

Шаг варьирования по каждой переменной выбираем по следующему выражению:

                                 (14)

где d - погрешность вычислений, равная 0, 25.

Таким образом, шаг варьирования по каждой переменной (кремнию, меди, магнию и марганцу) соответственно равен:

1. В первом рабочем цикле поиска оптимума осуществляем пробное движение вдоль координатной оси х₁ в положительном и отрицательном направлении по отношению к направлению оси х₁ (т.е. в сторону возрастания и в сторону уменьшения значений  х₁),  значения остальных переменных при этом не изменяются:

Подставляем полученные значения в уравнение прочности (9) и получаем следующие значения:

2. Выбираем движение по координатной оси х₁ в сторону возрастание переменной х₁, т.к. s_в,1 > s_в,2. Для проверки условий (5) по свойствам вычисляем значения параметров пластичности и твердости в точке Х_{1, 1}. Полученные значения пластичности и твердости (d = 1, 813 %; НВ = 78, 95) удовлетворяют условия (5).

3. Находим следующее значение переменной х_1,3:

Подставляем полученные значения в уравнение прочности (9) и получаем следующие значения s_в,3 = 18, 502. Для проверки условий (5) по свойствам вычисляем значения параметров пластичности и твердости в точке Х_{1, 3}. Полученные значения пластичности и твердости удовлетворяют условия (5).

Дальнейшее движение вдоль координатной оси х₁ далее становится невозможным, учитывая ограничения на химический состав алюминиевого сплава (2).

4. Выбираем движение по координатной оси х₂. Осуществим пробное движение вдоль координатной оси х₂ в положительном и отрицательном направлении по отношению к направлению оси х₂ (т.е. в сторону возрастания и в сторону уменьшения значений  х₂),  значения остальных переменных при этом не изменяются: