Содержание меди и марганца в сплаве примем, соответственно, Х2 = 2, 5 и Х4 = 0, 5 (масс.%). В этом случае уравнения прочности, пластичности и твердости алюминиевого сплава примут такой вид:
(7)
Используя полученные уравнения, построим линию равной прочности (σв =18 кгс/ см2), линию равной пластичности (δ =1, 5 %) и линию равной твердости (НВ =70 единиц). Для этого уравнения (7) необходимо решить относительно одной из переменных, например, относительно Z1. В результате получим соответственно следующие зависимости:
(8)
По полученным зависимостям Z1 от Z3 (8) изображаем на плоскости их графические зависимости, причем значения переменной Х3 изменяются в указанных интервалах (рисунок 3). Каждая из представленных графических зависимостей, как уже отмечалось, соответствует линиям оптимизируемых свойств с равными значениями: прочность σв =18 кгс/ см2 ;
пластичность δ =1, 5 % ;
твердость НВ = 70 единиц.
Проведем анализ полученных кривых с учетом ограничений (6). С помощью пробных вычислений нетрудно убедиться, что выполнению ограничений: для прочности сплава на разрыв - соответствует область значений, лежащая выше кривой прочности;
для пластичности – соответствует область значений, лежащая выше соответствующей кривой;
для твердости – соответствует область значений, лежащая ниже соответствующей кривой.
Таким образом, областью, удовлетворяющей одновременно всем требованиям (6) будет криволинейный треугольник, ограниченный кривой прочности и твердости со следующими значениями: содержание кремния в интервале 4,50 – 6,00%; содержание магния в интервале 0,27 – 0,8 %. Полученные результаты совпадают с данными предыдущего метода оптимизации.
Рисунок 3 - Номограмма для выбора оптимального состава алюминиевого сплава
1.3 ГРАДИЕНТНЫЙ метод ОПТИМИЗАЦИИ
Рассмотрим реализацию градиентного метода для оптимизации механических свойств алюминиевого сплава [3] с вышеизложенными ограничениями на химический состав (2) и на механические свойства сплава (5) .
Переведем уравнение прочности (3) из кодированного вида в натуральный вид с учетом зависимости (4) и получим следующее уравнение (9):
(9)
В качестве начальной точки возьмем точку с координатами:
Х1,0 = 5; Х2,0 = 2, 5; Х3,0 = 0, 5; Х4,0 = 0, 5.
Возьмем частные производные целевой функции и получим:
(10)
следовательно, вектор градиента прочности в изучаемом пространстве
(11)
Найдем значение вектора градиента в начальной точке Х1,0 = 5; Х2,0 = 2, 5; Х3,0 = 0, 5; Х4,0 = 0, 5, подставив координаты точки в уравнения (10):
Для перемещения из начальной точки необходимо выбрать величину рабочего шага h. Рабочий шаг осуществляется перемещением из начальной точки по следующей формуле (12), записанной в координатной форме:
(12)
Величина рабочего шага определяет точность нахождения оптимума и количество шагов для его определения. Допустим, что положение точки оптимума необходимо найти с погрешностью δ. Величину рабочего шага определим по формуле:
Примем погрешность вычислений δ = 0, 1, тогда величина рабочего шага будет равна
Вычислим координаты точки 1 по формуле (12), в которую перемещается поиск оптимума
Проверяем выполнение условий (2) по химическому составу сплава в данной точке. Для проверки условий (5) по свойствам вычисляем значения параметров пластичности и твердости в точке Хi, 1. Для перехода из точки 1 в следующую точку вычислим значения градиента в точке 1, подставив в формулу (10) ее координаты. Значение вектора градиента в точке 1 будет равно
Вычисляем координаты точки 2:
Проверяем выполнение условий (2) по химическому составу сплава в данной точке. Для проверки условий (5) по свойствам вычисляем значения параметров пластичности и твердости в точке Хi, 2. Для перехода из точки 2 в следующую точку вычислим значения градиента в точке 2, подставив в формулу (10) ее координаты. Значение вектора градиента в точке 2 будет равно
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.