Теория случайных погрешностей основана на двух аксиомах. I. Аксиома случайности, когда при большом числе измерений случайные погрешности, равные по значению, но различные по знаку, встречаются одинаково часто, т. е. число отрицательных погрешностей равно числу положительных. II. Аксиома распределения: малые погрешности встречаются чаще, чем большие, а большие не встречаются.
Пусть по данным серии опытов получены показатели хг, х2,..., х„. Тогда оценка действительного значения измеренных величин составит:
х= — У xi, / = 1,2,.... п. (14.37)
" ,~
9 Зак 2251 233
Согласно аксиоме считаем распределение случайных погрешностей равносторонним по отношению к х. Тогда сумма случайных _погрешно-стей будет равна нулю, что дает основание считать значение х наиболее близким к истинному значению измеряемой величины. Поэтому значение х называют действительным. Но так как погрешности являются случайными, то для их определения можно применить законы распределения случайных величин. Для этого более всего подходит закон нормального распределения погрешностей. Оказалось, что много проще воспользоваться числовыми характеристиками этого закона. Так, для оценки точности результатов наблюдений служит среднее квадратичное отклонениезотл;, называемое стандартным отклонением. Следовательно, вторым шагом статистической обработки будет вычисление s по формуле
'^l/S^rir1^-^' ' (14'38)
где xi = xlt хг,...,хп по результатам измерений; п — число опытов. Так мы найдем среднюю квадратичную погрешность единичного опыта. Сравнивая между собой полученные значения s по серии опытов, можно предположить, что в их числе имеются промахи.
Проверка на промахи. Промахом называют резко выделяющийся из серии опытов результат вследствие ошибки измерений либо неправильных вычислений, либо нетипичных условий производства опытов. Проверку производят следующим образом.
Промахи исключают из обработки результатов, но для этого их надо выявить.
а) Выбираем подозрительную реализацию хк.
б) Находим относительное отклонение проверяемой величины от
действительного значения — х:
UK = (xK-x)/s. (14.39)
Задаемся доверительной вероятностью ул. Для технического эксперимента принято считать достаточным УД = 0,9—0,95. Как показал опыт обработки эксплуатационных испытаний, можно принимать •Уя = 0,95, обеспечивающую более высокую достоверность. Далее находим по табл. 14.1 критерий максимального относительного отклонения fmax для выбранного уя и произведенного числа опытов п. Численные значения t/max табулированы. Для примера приведены некоторые значения i/max в табл. 14.1. Если (/„< i/max промахов нет. Если UK > t/max. имеется промах, опыт следует исключить из обработки.
Находят корректирующий множитель Мк по значению степеней свободы k = п — 1.
ь 16 17 18 !9 20 25 30 35 Мк '.'.'.'.'.'. 1,016 1,015 1,014 1,013 1,013 1,01 1,008 1,007
234
Определяют несмещенную оценку среднего квадратичного отклонения:
s,.-yMKs. (14,40) Точность измерений
6-=.-.--г-100. (14.41)
Далее необходимо установить доверительный интервал, который согласно стандартам является одной из основных форм выражения точности измерений. Для этого по табл. 14.2 найдем квантиль распределения Стьюдента — ^для односторонней вероятности. Тогда нижняя а„ и верхняя а„ доверительные границы генеральной средней:
"H"*~'v^/7 ;
vn (14.42)
- *i
я„ = х +1 ——— .
V УП Окончательный результат серии измерений
a = ?±(v~r- (14.43) У"
Например, если эксплуатационный к. п. д. тепловоза по серии опытов при взятой УД = 0,95 определился в границах доверительного интервала 0,252 <т]тэк. ^0.268, то это значит, что в 95 поездках из 100 значений к. п. д. будет колебаться в пределах не более чем от 0,252 до 0,268.
Далее оценивают относительную погрешность серии опытов. Границы доверительного интервала среднего квадратичного отклонения составят: ав = s^ — верхнего и ан = S^H — нижнего, где zs, ZH — коэффициенты «хи-квадрат» распределения (табл. 14.3).
Доверительный интервал среднего квадратичного отклонения
он<о< ав.
Вариационный размах показателя, характеризующий амплитуду колебаний,
Кх = Хтах — Хт\п, (14.44) где *max> -^mln — наибольшее и наименьшее значение показателя в серии опытов.
Относительную колеблемость показателя вокруг действительной величины характеризует коэффициент вариации:
у_ = ^Г ЮОО/о. (14.45) х х
Проверка гипотезы о нормальном законе распределения случайной величины. Опытные переменные показатели подчинены закономерностям массовых явлений. Наиболее полной характеристикой случайной величины является закон ее распределения. Имеется ряд типов распределений. Статистической гипотезой называют предположение о виде закона распределения. Установление его облегчает обработку испытаний, так как появляется возможность использовать числовые характеристики вместо сложных вычислений и многочисленных измерений для построения закона распределения.
При эксплуатационных испытаниях тепловозов действует множество вероятностных факторов, что позволяет предположить о действии нормального закона распределения, но предположение подтверждают 236
расчетно по статистикам, называемым критериями согласия. Имеется много критериев согласия и способов проверки: метод моментов, критерий согласия «хи-квадрат», критерии Колмогорова, Мизеса, Пирсона, Фишера и др. Все эти методы и критерии неприемлемы для эксплуатационных испытаний тепловозов, так как требуют большого количества опытов — не менее 50 и трудоемких вычислений. Оказалось, что наиболее простым для расчетов на ЭВМ и не требующим большого числа испытаний является критерий W, который получил распространение за рубежом при обработке теплотехнических опытов и испытаниях транспортных средств.
Методика проверки гипотезы по критерию W сводится к следующему. Результаты измерений в серии опытов располагаем в порядке возрастания: х1 < х2 < ха < ... < хп. Далее вычисляем дисперсию:
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.