Функциональные последовательности и ряды. Поточечная и равномерная сходимость, страница 5

По  признаку   Даламбера,   если   | x – x₀ |×r< 1,   т.е.  ,  то ряд сходится.  Если  | x – x₀ |×r> 1,  т.е. , то ряд расходится. Таким образом, величина  по определению является радиусом сходимости данного ряда. Легко разбираются и крайние случаи.   Если    r= 0,  то,  по признаку  Даламбера,  ряд  сходится  при  любом  х.  Значит, R = ¥.  Если же  r= ¥, то предел | x–x₀ |×rравен 0 при  x = x₀  и равен  ¥ при x ¹ x₀ . Значит, ряд сходится только при  x = x₀,  т.е.  R= 0.

Если вместо признака Даламбера использовать признак Коши, то получается аналогичная формула:

 .

В некоторых случаях пределы, вычисляемые при применении признаков Даламбера и Коши, могут не существовать. Однако всегда справедлива формула Коши–Адамара, которую мы приведём без доказательства:

 .

Напомним: символ  означает верхний предел последовательности, (т.е. наибольший среди пределов подпоследовательностей), а он всегда существует.

Несмотря на то, что имеется несколько формул для вычисления радиуса сходимости, мы советуем читателю при решении задач пользоваться непосредственно признаком Даламбера (или Коши) – так, как это сделано при решении примера 6.

Установим теперь равномерную сходимость степенных рядов, чтобы применить к ним выводы предыдущего раздела.

Теорема 8.  Пусть  R – радиус сходимости ряда   .  Возьмём число r:  0 < r < R.   Тогда на отрезке  [x₀–r, x₀+r]  ряд сходится равномерно.

Доказательство.Пусть xÎ[x₀–r, x₀+r]. Тогда | x – x₀ | £ r.  Значит | c_n(x–x₀)ⁿ|£ £ | c_n|rⁿ. Но  – сходящийся числовой ряд (так как он получен из исходного ряда подстановкой x = x₀+r, а внутри области сходимости ряд сходится абсолютно). Поэтому  является мажорирующим для исходного ряда на отрезке [x₀–r, x₀+r]. Значит, по признаку Вейерштрасса, ряд  сходится равномерно.

Следствие 1. Сумма степенного ряда есть непрерывная функция в любой точке внутри интервала сходимости.

Доказательство. Возьмём произвольную точку  х₁  внутри интервала сходимости ряда . Тогда существует r: 0<r<R, x₁Î[x₀–r, x₀+r]. На отрезке  [x₀–r, x₀+r] ряд сходится равномерно. По теореме 3¢, сумма ряда – непрерывная функция на этом отрезке. В частности, она непрерывна в точке  х₁. Следствие 1 доказано.

Замечание. Пример геометрической прогрессии показывает, что на границе интервала сходимости сумма ряда может иметь разрыв:

.

Следствие 2. Степенной ряд можно почленно интегрировать по любому отрезку, лежащему внутри интервала сходимости. Другими словами,  если , R – радиус сходимости,  числа  a, b:  x₀–R < a £  b < x₀+R,  то

.

Доказательство. При указанных условиях существует число r:  0 < r < R , такое, что  [a, b] Í [x₀–r, x₀+r].  По теореме 8, на отрезке [x₀–r, x₀+r] ряд сходится равномерно. Значит, по теореме 4¢, его можно почленно интегрировать.

Замечание. Если интегрировать в постоянных пределах, то получается, конечно, числовой ряд. Можно интегрировать по отрезку  [x₀, x],  где  х – переменная, принимающая значения в интервале сходимости. Тогда получится снова степенной ряд:

 .

Радиус сходимости полученного ряда равен радиусу сходимости исходного ряда. Действительно: предел, вычисленный при применении признака Даламбера, у нового ряда такой же, как и у исходного:

.

Пример 7. Применим почленное интегрирование  к известному нам ряду . Интегрируя по отрезку  [0, x],  где  0 < x < 1,  получим:

.

То же самое верно и если  –1 < x < 0.  Итак, на интервале (–1, 1)  функция –ln(1–x) является суммой ряда:

, или, как говорят, разлагается в этот ряд.

Следствие 3. Степенной ряд можно почленно дифференцировать в любой точке внутри интервала сходимости. Другими словами, если , то .  При этом радиус сходимости не изменится.

Доказательство.Пусть  R – радиус сходимости исходного ряда. Тогда радиус сходимости ряда из производных  тоже равен R – это ясно, ведь исходный ряд можно получить из него интегрированием.