Функциональные последовательности и ряды. Поточечная и равномерная сходимость

Страницы работы

Содержание работы

14   Функциональные последовательности и ряды

До сих пор мы рассматривали только числовые последовательности и числовые ряды. Теперь будем изучать последовательности, элементы которых – функции, а также ряды, слагаемые которых являются функциями.

14.1   Поточечная и равномерная сходимость

Рассмотрим последовательность функций

f1(x),    f2(x),    f3(x), ..., определённых на множестве   E Í R.  Возьмём какое–либо  aÎE.  Подставляя  a  вместо  х, получим числовую последовательность {fn(a)}. Она может сходиться, а может и расходиться. Множество чисел  a,  при подстановке которых получается сходящаяся числовая последовательность, называется областью сходимости  последовательности  {fn(х)}.  Будем обозначать это множество буквой   D:

D = { a  |  {fn(a)} – сходящаяся последовательность }.

Для каждого aÎD существует конечный предел , который мы обозначим  f(a):

.

Мы употребили функциональную запись f(a) при обозначении числа для того, чтобы подчеркнуть: этот предел зависит от  a,  т.е. это функция от  a. Можно использовать более привычное обозначение переменной:

, не забывая, что  f(х)  определена только на множестве  D. Используется также запись без значка lim: . Такая сходимость последовательности {fn(х)} к функции f(х) называется  поточечной.  Дадим определение поточечной сходимости на языке  «ed»:

.

Теперь дадим определение равномерной сходимости, которую будем обозначать так:   (читается: «последовательность  fn(х)  сходится равномерно на множестве  D  к функции  f(х)» ).  По определению

.

На первый взгляд разница в определениях небольшая, однако она существенна. В первом определении требуется, чтобы для каждого хÎD существовал номер n0 с определённым свойством. Для разных  х  такие номера, возможно, будут разными. Во втором определении – более сильно требование: один и тот же номер  n должен годиться для любого  хÎD.  Таким образом, ясно, что из равномерной сходимости вытекает поточечная:

.

Обратное  –  неверно, см. пример 1 ниже.

Дадим геометрическую иллюстрацию к понятию равномерной сходимости. Требование, содержащееся в определении:

означает, что, начиная с некоторого номера, графики функций fn(х) мало отличаются от графика  f(х)  на всём множестве D, лежат в  «e–трубе»  графика функции  f(х).  Итак,

   графики  fn(х) лежат в  «eтрубе»  графика  f(х).

Пример 1.  Рассмотрим последовательность функций

f1(x) = x,    f2(x) = x2 f3(x) = x3, ... ,   fn(x) = xn, ... .

Будем считать xÎD = [0,1]. В каждой точке этого множества последовательность сходится:


Однако эта сходимость не является равномерной. Попробуем понять это, рассматривая графики функций.

Конечно, при любом   xÎ[0, 1]     xn® f(x),   т.е  . "e>0, начиная с некоторого номера n0,| xn f(x) | <e. Однако, чем ближе  к  1  (но x ¹ 1), тем больший номер  n0  приходится (для того же e) выбирать. И нельзя взять такое  n0, которое годится для всех  x. Более того: в этом примере в  «e–трубу»  не попадает ни одна из функций  xn.

Если рассматривать ту же последовательность {xn} на множестве , то сходимость будет равномерной. Действительно, в этом случае предельная функция f(x)º0.Так как     для любого   x  из  , то достаточно взять  n0  так, чтобы   (т.е.   ).  Тогда  "n ³ n0   неравенство    xn <eбудет выполнено для всех   x из   .    Значит,  .

Теперь перейдём от последовательностей функций к рядам. Функциональным рядом называется сумма вида

.

Областью сходимости ряда называется множество  D  чисел, при подстановке которых вместо  x  получается сходящийся числовой ряд.

Пример 2.  Найти область сходимости ряда   .

Решение. Зафиксируем  x  и рассмотрим числовой ряд  . Вычислим предел:

.

По признаку Даламбера, если | x |< 1,  то ряд сходится. Тогда сходится и ряд    (без модулей). Если | x | > 1, то ряд расходится. Причём ряд без модулей    тоже расходится – нарушено  необходимое  условие  сходимости.  Остаётся  проверить две точки:  x = 1,  x = –1.  При   x = 1   получаем    – гармонический ряд,  он расходится.   При  x= –1  получаем    – ряд, сходящийся по теореме Лейбница. Итак, областью сходимости ряда    является множество  D = [1,1).

Обозначим  Sn(x) – частичные суммы ряда  :

Sn(x) = f1(x) + f2(x) + ... + fn(x).

Если xÎD, то существует . Функция S(x), определённая на области сходимости  D,  называется суммой ряда.  Используется запись :

.

Сходимость  ряда к своей сумме может носить разный характер.

Ряд  сходится на D к функции S(x) поточечно, если  Sn(x) ® S(x) поточечно.

Ряд  сходится на D к функции S(x) равномерно , если . Оказывается, именно равномерно сходящиеся ряды обладают многими хорошими свойствами.

Замечание. Данные определения позволяют свойства рядов выводить из свойств последовательностей. Обратно, для каждой последовательности {gn(x)} можно рассмотреть ряд

g1(x) + (g2(x)g1(x)) + (g3(x)g2(x)) + ...  , для которого gn(x) являются частичными суммами.  Таким образом, многие свойства последовательностей можно сформулировать и на языке рядов, и наоборот. Мы будем пользоваться этим, выбирая наиболее удобный язык.

Теорема 1 (критерий Коши равномерной сходимости).

Похожие материалы

Информация о работе