Математика \ Математический анализ

Тэорыя лімітаў. Бясконца малыя і бясконца вялікія паслядоўнасці. Збежныя паслядоўнасці, страница 8

(1)

Адкуль

(2)

З (1) і (2) атрымаем, або

З тэарэмы пра сціснутую паслядоўнасць вынікае , а на падставе крытэра Гайне маем

Пакажам далей, што Возьмем . Відочна, што пры . Таму ■

Заўвага 1. Калі ўзяць , то пры . Таму

Заўвага 2. Калі пры , то і

Прыклад.

§2.8. Непарыўнасць функцыі. Пункты разрыву.

Пры азначэнні ліміту функцыі fу пункце мы меркавалі, што функцыя ў гэтым пункце можа быць і нявызначанай. Так, да прыкладу, функцыя нявызначана ў пункце , а яе ліміт у гэтым пункце роўны 1. Надалей нас будуць цікавіць функцыі, вызначаныя ў разгляданым пункце.

def: Функцыя называецца непарыўнаю ў пункце , калі яна вызначана ў ваколлі гэтага пункта і . Пры гэтым пункт называецца пунктам непарыўнасці функцыі f . Гэтае азначае:

“на мове ”:,

і “на мове паслядоўнасцяў”: .

def: Пункт называецца ізаляваным пунктам абсягу вызначэння D(f) функцыі f, калі існуе акруга пункта , якая не змяшчае іншых, акрамя , пунктаў абсягу D(f), г.зн. . У ізаляваным пункце функцыя лічыцца непарыўнаю.

def: Розніцу назавем прыростам аргумента функцыі ў пункце і абазначым яго , а розніцу назавем прыростам функцыі, які адпавядае прыросту і абазначым яго . Такім чынам, маем

Пры такіх абазначэнных непарыўнасць выражаецца роўнасцю , што азначае: малому прыросту аргумента адпавядае малы прырост функцыі.

def: Функцыя называецца непарыўнаю справа (злева) у пункце , калі .

З тэарэмы пра аднабаковыя ліміты вынікае, што функцыя ёсць непарыўная ў пункце, калі і толькі калі яна непарыўная ў гэтым пункце як злева, так і справа.

def: Функцыя называецца непарыўнаю на інтэрвале, калі яна непарыўная ў кожным пункце гэтага інтэрвала. Функцыя называецца непарыўнаю на адрэзку , калі яна непарыўная на інтэрвале і непарыўная справа ў пункце і злева ў пункце .

def: Калі функцыя f вызначана ў праколатай акрузе пункта a , а ў пункце a функцыя не з’яўляецца непарыўнаю, то пункт a называецца пунктам разрыву функцыі f , г.зн. пункт ёсць пункт разрыву функцыі , калі не выконваецца прынамсі адна з умоваў:

Прыклады. 1). пункт нявызначанасці; 2). , – не існуе ліміт. 3). ліміт не роўны значэнню функцыі ў пункце.

Сярод пунктаў разрыву сустракаюцца некалькі розных выпадкаў.

1º. Функцыя мае ліміт у пункце разрыву.

def: Пункт разрыву функцыі называецца пунктам скасавальнага разрыву, калі ў гэтым пункце функцыя мае ліміт, г.зн. існуюць абодва аднабаковыя ліміты і . Пры гэтым у пункце скасавальнага разрыву або нявызначана, або .

Напрыклад, Функцыя мае ў пункце скасавальны разрыў. Калі ж разгледзець функцыю , то яна непарыўная ў пункце , г.зн. мы давызначылі функцыю у пункце па непарыўнасці. Таму разрыў і называецца скасавальным.

2º. Функцыя не мае ліміту ў пункце разрыву, але існуюць абодва аднабаковыя ліміты.

def: Калі існуюць абодва аднабаковыя ліміты, але , то пункт разрыву называецца пунктам скачка .

Напрыклад, пункт функцыі Хэвісайда ёсць пункт скачка.

def: Пункты скасавальнага разрыву і скачка называюцца пунктамі разрыву першага роду, г.зн. пункты, у якіх існуюць абодва аднабаковыя ліміты.

def: Функцыю, якая мае на мностве канечную колькасць разрываў толькі першага роду, называюць кавалкава-непарыўнаю на мностве .