0 = -l p0 + m p1, (2)
0= - (l + m) pi + l pi-1 + m pi+1, i = 1,2,3,……
Найти решение системы (2) можно последовательным суммированием уравнений из (2) при i = 0,1,2,… , откуда получим:
pi = (l/m) pi-1 = (l/m)2 pi-2 =……= p0 ri i ³ 0, (3) где введено обозначение r = l/m . Чтобы найти решение (3) в явном виде, необходимо определить p0.
Для определения p0 воспользуемся условием нормировки:
¥ ¥
å pi = p0 å ri = 1 (4) i=0 i=0
Ряд в правой части (4) сходится и равен 1/(1- r) тогда и только тогда, когда r < 1. Из (4) получаем выражение для p0 = 1- r и окончательное решение системы (3):
pi = (1- r) ri , i i ³ 0, (5)
Таким образом, стационарное распределение числа заявок в системе М/М/1/¥ является геометрическим. Теперь можно найти показатели производительности.
1. Загрузка системы. Вычисляется в общем случае r = (l N/N m) = rKN < N, поскольку загрузка прибора всегда меньше 1. В нашем случае N=1 и загрузка системы будет равна r = (l/m)<1.
2. Загрузка обслуживающего прибора (иногда говорят канала). Вычисляется в общем случае rк = (l/N m) =(lк/ m)<1. В нашем случае N=1, нет отказов в обслуживании заявок и загрузка прибора будет совпадать с загрузкой системы rк = r= (l/m).
3. Вероятность простоя обслуживающего пробора. Равна вероятности события, состоящего в том, что в системе (а значит в приборе) нет заявок. Из геометрического распределения (5) получим р0 = (1- r).
4. Коэффициент использования системы u. Есть вероятность события, состоящего в том, что в системе имеется хотя бы одна заявка u = 1- p0 =r. Значит, r в данном случае имеет также смысл средней доли времени u, которую система в стационарном режиме занята обслуживанием заявок.
5. Вероятность отказа в обслуживании. Равна вероятности переполнения буферного накопителя pl = pN+r . Поскольку буферный накопитель неограничен, то вероятность этого события равна нулю pl = lim pN+r = lim (1- r) ri =0
r®¥ i®¥
6. Вероятность обслуживания заявки. Есть вероятность события, противоположного отказу в обслуживании. В нашем случае будет равна 1.
7. Абсолютная пропускная способность системы. Равна средней интенсивности выхода заявок из системы ld. В общем случае (в том числе для систем с отказами в обслуживании) l ³ ld = l (1 – pl) . В нашем случае pl = 0 и ld = l.
8. Среднее число занятых приборов. Равно среднему числу обслуженных заявок за время обслуживания одной заявки. Вычисляется Lk = ld Ts = (l/m) = r. Значит, r в данном случае имеет также смысл среднего числа заявок в приборе.
9. Коэффициент использования тракта (всех приборов, в общем случае N ³1) k. Вычисляется k = Lk/N. В нашем случае k = r/1=r.
10. Среднее число заявок в очереди Lw. Стационарное распределение числа заявок в очереди lw(w) будет геометрическим, поскольку вероятность события, состоящего в том, что в очереди i ³1 заявок, равна вероятности события, состоящего в том, что в системе i+1 заявка: pi = (1- r) ri+1 , i = 1,2,3………..
Тогда математическое ожидание дискретной случайной величины lw(w) будет равно: r r
Lw = lim å i (1- r) ri+1 = r2(1-r) lim ( å ri )¢ = r2/(1-r)
r®¥ i=1 r®¥ i=1
11. Среднее число заявок в системе Lq. Равно среднему числу заявок в очереди и приборе: Lq = M(lw(w) + lk(w)) = r2/(1-r) + r = r/(1-r)
12. Функция распределения вероятностей времени ожидания начала обслуживания Ftw(t). Находится по формуле: Ftw(t) = (1-r) + r(1 – exp(-m(1-r)t)), t>0. Формула имеет очень простой смысл. Заявка либо застаёт систему простаивающей с вероятностью p0=(1-r) и сразу начинает обслуживаться, либо с вероятностью r= (1-p0) застаёт систему занятой и ожидает начала обслуживания случайное время, распределённое по экспоненциальному закону с параметром m(1-r).
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.