4. средняя интенсивность обслуживания заявки в приборе, равная m или обратная величина 1/m, равная среднему времени (математическому ожиданию) обслуживания заявки в приборе Ts = M tsi(w),
5. обслуживание заявок и поступление заявок независимы,
6. выбор заявок из очереди буферного накопителя производится в порядке их поступления в систему (в соответствии с дисциплиной обслуживания FCFS),
7. число обслуживающих приборов N равно 1,
8. число мест r для ожидания в буферном накопителе неограничено.
Требуется найти:
- показатели производительности системы М/М/1/¥.
Решение задачи заключается в составлении системы уравнений для вероятностей состояний марковского процесса, описывающей функционирование системы М/М/1/¥, нахождении решения системы уравнений и последущего вычисления показателей производительности. Обозначим через А(w,t) случайный процесс – число заявок, поступивших в систему М/М/1/¥ к моменту времени t, через D(w,t) случайный процесс - число заявок, покинувших систему к моменту времени t , через Q(w,t) случайный процесс - число заявок в системе (в очереди и на обслуживании) в момент времени t. Три процесса связаны между собой соотношением Q(w,t) = А(w,t) - D(w,t). Число заявок в системе в момент t может принимать значение 0, 1, 2, …… и соответственно множество состояний X процесса í Q(w,t), t³ 0 ý имеет вид X = í 0, 1, 2, …. ý. Процесс í Q(w,t), t³ 0 ý является однородным марковским процессом в силу условий 1,3,5. Рассмотрим процесс Q(w,t), в промежутке времени (t, t+D), где D есть “малое” приращение времени. Найдём выражения для вероятностей переходов процесса из состояния i в состояние j за время D - pij (D). Вероятность поступления в систему одной заявки за время D определяется из условия 1: p1(D)=l Dexp(-lD). Для достаточно малого D эта вероятность будет равна lD + o(D). Соответственно, вероятность противоположного события (не поступает ни одна заявка) будет равна 1 - lD + o(D). Вероятность выхода одной заявки из системы (обслуживания) за время D определяется из условия 3: Pí w: tsi(w) £ D ý = 1 – exp(- mD). Для достаточно малого D эта вероятность будет равна mD + o(D). Соответственно вероятность противоположного события (не обслужится ни одна заявка за время D) будет равна 1 - mD + o(D). Значит, если в момент t число заявок в системе равно i, то до момента t+D число заявок останется тем же с вероятностью p00(D) = 1 - lD + o(D) при i=0 и с вероятностью pii(D) = [1 - lD + o(D)][1 - mD + o(D)] = 1 – (l + m)D + o(D) при i >0 . Вероятность перехода процесса Q(w,t) из состояния i в состояние i+1 за время D (поступления одной заявки) будет равна pi,i+1(D) = lD + o(D), i ³ 0 . Наконец, вероятность перехода процесса Q(w,t) из состояния i > 0 в состояние i-1 за время D (выхода одной заявки) будет равна pi,i-1(D) = mD + o(D). Вероятности остальных переходов, таких как поступление двух и более заявок, обслуживание двух и более заявок имеют порядок малости o(D). Таким образом, процесс Q(w,t) будет по определению процессом размножения и гибели, причём li =l, i³ 0, mi =m, i³ 1. Обозначим через pi(t) = Pí w: Q(w,t) = i ý вероятность события, состоящего в том, что число заявок в системе в момент t равно i. Тогда по формуле полной вероятности получим:
p0(t+D) = (1-lD) p0(t) + mD p1(t) + o(D),
pi(t +D) = [1 – (l + m)D] pi(t) + lD pi-1(t) + mD pi+1(t) + o(D), i = 1,2,3,……
Вычитая из обеих частей равенства pi(t), деля на D и переходя к пределу при D ® 0, приходим к системе дифференциальных уравнений Колмогорова:
p¢0(t) = -l p0(t) + m p1(t), (1)
p¢i(t) = - (l + m) pi(t) + l pi-1(t) + m pi+1(t), i = 1,2,3,……
Процесс Q(w,t) при условии (l/m) < 1 будет эргодическим. Это означает, что с течением времени функцирнирование СМО стремиться к стационарному режиму, когда pi(t) ® pi при t ® ¥, причём вероятности pi > 0, i ³ 0, и независят от начального состояния процесса Q(w,t). Найдём решение системы (1) для стационарного режима. В этом случае производные в левой части системы (1) равны нулю и стационарные вероятности pi будут удовлетворять системе уравнений равновесия:
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.