Физика \ Техническая термодинамика

Техническая термодинамика: Учебное пособие (Главы 1-7: Техническая термодинамика. Основные понятия и определения. Смеси идеальных газов), страница 14

Соотношения ( 5.6 - 5.9) называются дифференциальными соотноешниями  термодинамики или соотношениями взаимности Максвела  они широко используются в термодинамическом анализе.

Через характеристические функции могут быть определены физические характеристики. Так используя  выражение  (u / u)u  = T  ( 5.1) .

(2u / S2)u  = (T / S)u  = T (T /TS) u = T(T / q) u .

Удельная теплота, получаемая системой может быть определена как:

q = Сu T,   Сu  = q / T,                                                                где Сu- удельная теплоемкость системы при постоянном объеме.

Тогда Сu = T /(2u / S2)u                                                  (5.10)

Деление  (2u / u 2 )S = - (P / u 2 )S  этого выражения на удельный объем системы при нормальных условиях uо, получим выражение:

bS = - 1/ uo (u /  P)S = 1/ uo(2u / u 2 )S                         (5.11)        bS  - коэффициент адиабатной сжимаемости.

5.2. Дифференциальные уравнения для U, h, S

Приведем основные дифференциальные уравнения термодинамики применительно к системам, состояние которых определяется парами термодинамических параметров :  p, T; u, T; u, р.

5.2.1. Рассмотрим энтальпию (h) как функцию переменных p и T:

h = f ( p, T ).

di = (h /  T)p dT + (h / p)T  dp                                      (5.12.1)

Если Т = const;  dhT = TdST  + udpT 

(h / p)T = Т (S / p)T + u             или

²

                               -(u / T)p

(h / p)T = - Т -(u / T)p + u                                       (5.12.2)

Если для d1  положить р = const :

(h /  T)p = ТSp = q;    q  = h                                          (5.12.3)

При p - const и элементарном изменении температуры количество теплоты ( удельное ) может быть рассчитано:

q  =  СpT  = (h /  T)p;

Сp = (h /  T)p.                                                                        (5.13)

С учетом 5.12.1, 5.12.2., 5.12.3 дифференциальное уравнение h:

dh = CpdT - [ T(u / T)p + u ] dp                                           (5.14)

Подставляя это выражение в первый закон термодинамики:

CpdT - [ T(u / T)p + u ] dp = TdS +u dp;

dS = CpdT/ T - (u / T)p  dp                                                   (5.15)

5.2.2. Независимые переменные uи T

Рассмотримu, как функцию  u  и T.    du = TdS - pdu.

du = (u / T)u  dT +(u / u )T d u.

Определим   (U / u )T из уравнения первого закона термодинамики при Т = const.

duT = TdST - pduT ® (u / u )T =T (S / u )T - p.

²

(P / T)u

 

(u / T)u    определяется из условия   u =  const.

du = TdSu - pduu ;

           q = CudT ® du = CudTu ;

(u / T)u = Сu ;                                                             (5.16)

du = СudT + [ T(P / T)u  - p ] du                           (5.17)

Подставляя это выражение в первый закон термодинамики для u:

СudT + [ T(P / T)u  - p ] du = TdS - pdu;

dS = СudT / T+ (P / T)u du. (5.18)

5.2.3. Независимые переменные u, р.

Для удельной внутренней энергии:

du = (u / u)p + du + (u / P)u dp;

(u / P)u = (u / T) u  (T/ P)u = Cu (T/ P)u.

²

Сu

 

(U / u)p    определим при  p = const.  Из выражения :

dUp = CpdT - pdup;

(U / u)p  = Сp (T/ u)p - p;

U = Cu (T/ P)u dp + [Cp (T/ u)p - p] du            (5.19)

Выражение для энтропии:

Cu (T/ P)u dp + [Cp (T/ u)p - p] du  = TdS - pdu;

dS = Cu (T/ P)u  / Tdp + Cp (T/ u)p / Tdu.             (5.20)

Дифференциальное уравнение для удельной энтальпии может быть получено, подстановкой dS (5.20) в первый закон термодинамики:

di = Cu (T/ P)u dp + Cp (T/ u)p   du  + u dp =

di = Cp (T/ u)p + [Cu (T/ P) + u ] dp                   (5.21)

5.3. Дифференциальные уравнения удельных  

      теплоемкостей Cu   и Cp

Для определения связи между Cu и Cp  следовательно первый закон термодинамики  q = СdT.

q = СdT = du + pdu                                                          (*)                 с -   удельная теплоемколсть системы в произвольном процессе.

Скачать файл