Информационные технологии прогнозирования состояний экономических объектов, страница 22

что совпадает с (2.1.3), т.е. f(x) = r_Y(x).

Минимальная ошибка предсказания СКО_мин может быть записана в соответствии с (2.2.1) в виде

СКО_мин = =ò [y – r_Y(x)]² Pr(x, y) dy /ò Pr(x, y) dy.   (2.2.3)

Для произвольного предиктора f(x)

cov(f,Y) = cov(f, r_Y(x)),                                                      (2.2.4)

cov(r_Y(x),Y) = cov(r_Y(x), r_Y(x)) =

Тогда коэффициент корреляции

r²(f,Y) = cov²(f,Y) /s_f²s_Y² = {cov²(f, r_Y(x))/s_f²s_R²}s_R²/s_Y² =

                                         = r²(f,r_Y(x)) r²(r_Y(x),Y) .          (2.2.5)

Из (2.2.5) следует, что оптимальный предиктор r_Y(x) имеет максимальный коэффициент корреляции с Y среди всех возможных предикторов, т.е. r²(r_Y(x),Y) ≥ r²(f,Y) для любого  f(x), т.к. r²(f,r_Y(x)) ≤ 1.

Квадрат максимального значения коэффициента корреляции r²(r_Y(x),Y) имеет специальное обозначение h²_YX и называется корреляционным отношением. Из (2.1.5), (2.2.4) и (2.2.5) следует, что

h_YX² = s_R²/ s_Y² = 1 –  /s_Y²    = 1 – СКО_мин /s_Y² .         (2.2.6)